函数

lrh2006

烦请各位大神指点下，谢谢！

isee

回复 1# lrh2006


    就是$\forall x>0,f(x)\leqslant g(x)$恒成立。

    因为是选择题，然后，将绝对值的全部化右边，含字母全部化左边，图象解决。

lrh2006

回复 2# isee


    我也是这么想的，但是图像好像不好画诶。能不能再帮我看看，谢谢啦

isee

回复 3# lrh2006


    以$0<x<1$为例，$$a(x-1)x\leqslant x-1-\frac 1{x-1}.$$直接转化成图象是没问题的，只是不够直观，需要对函数图象非常的熟悉。

    注意到左右两端均有$x-1$，于是可以变形为$$ax\geqslant 1-\frac 1{(x-1)^2}.$$此时右边亦其本初等函数，多一个平移变换而已。图象出来后，就知，需求$$y=1-(x-1)^{-2}$$在原点的切线。

    此时的临界值$a=-2$.

    $x>1$，类似处理……

    然后将两种情况综合起来。不用求值，都已知答案是D了。

走走看看

$当x＞1时，y=(x-1)^{-2}-1。$
$观察图象，得x=0处的斜率为-\frac{1}{4}。$
$若求导，x=0不在导函数上，如何求这个斜率？$

走走看看

回复 5# 走走看看


乍看，求导不行，常规解法遇到3次方程，实际操作，发现常数项为0，降成二次方程。
设过原点的直线方程为y=kx，代入则有：
$x[kx^2+(-2k+1)x+(k-2)]=0,$
即
$[kx^2+(-2k+1)x+(k-2)]=0,$
$△=0$
解得
$k=-\frac{1}{4}。$

isee

回复 5# 走走看看


    设切点，先求切点横坐标。


   PS：楼上公式有进步，中文与公式最好分开，这个是为了“前途”。

走走看看

回复 7# isee

$设切点坐标是（x_0，y_0），则 y'=-\frac{2}{(x_0-1)^3}，所以切线方程是 y-y_0=-\frac{2}{(x_0-1)^3}(x-x_0)，$
$将（0，0）代入则有y_0=-\frac{2}{(x_0-1)^3}x_0，$
$又（x_0，y_0）满足y=\frac{1}{(x-1)^2}-1，则y_0=\frac{1}{(x_0-1)^2}-1，$
$消去y_0，得到 x_0^3-3x_0^2=0。$
$解得x_0=0（舍）,或者x_0=3，则y_0=-\frac{3}{4}，所以k=-\frac{1}{4}。$

6楼已分开写，但发现行距很小，不好看。不知你们是如何控制的。是整块控制吗？

lrh2006

学习了，谢谢两位

isee

回复 8# 走走看看


    自己在论坛里多个空行。

或者两端都用两个美元符号，让公式居中

游客

个人认为，这样的题目只适合作为解答题考查。
作为选择题，答案显然为D，就算换个与D类似的选择项上去，也只要用特殊值去验证下就可以，从而就考查不出什么名堂。
作为填空题，那还是要按解答题的过程作演算，有比较大的运算量，实际就是在做解答题。

作为选择题的秒杀：
若f(x)中的绝对值比g(x)中的绝对值大的时候，ax不能趋于0，a不能趋于0;
若f(x)中的绝对值比g(x)中的绝对值小的时候，ax不能趋于无穷，a不能趋于无穷。区间两边没有0和无穷的，只有D。