超对称的不等式

yao4015

$x,y$ 是正实数, 证明
$$x^3y^2+\frac{1}{x^3y^2}+y^3x^2+\frac{1}{y^3x^2}\geq x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}.$$

还是把下面5楼的那个不等式放到顶楼来
$$x^3y+\frac{1}{x^3y}+y^3x+\frac{1}{y^3x}\geq x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}.$$

为方便查看, 把8楼的也放在这儿了.(双边混合)
$$x^4y^2+\frac{1}{x^4y^2}+x^2y^4+\frac{1}{x^2y^4}\geq x^3y^2+\frac{1}{x^3y^2}+x^2y^3+\frac{1}{x^2y^3}.$$

kuing

很简单吧，整理下即
\[x^{2}y^{2}(x+y)+\frac{x+y}{x^{3}y^{3}}\geqslant x+y+\frac{x+y}{xy},\]
约去 $x+y$ 即证
\[t^{2}+\frac{1}{t^{3}}\geqslant 1+\frac{1}{t},\]
即
\[(t^2-1)\left(1-\frac1{t^3}\right)\geqslant0,\]
显然成立。

isee

回复 2# kuing

其妙

排序不等式

yao4015

回复 2# kuing

原来那个分子多项式是可约的, 可能正是这一点, 导致问题难度降低了, 不可约的情况, 这方法还能行不? 比如下面这个
$$x^3y+y^3x+\frac{1}{x^3y}+\frac{1}{y^3x}\geq x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$$

kuing

回复 5# yao4015

那就加强到可约呗，易证
\[x+\frac 1x\leqslant x^2+\frac 1{x^2},\]
故只需证加强式
\[x^3y+y^3x+\frac 1{x^3y}+\frac 1{y^3x}\geqslant x^2+y^2+\frac 1{x^2}+\frac 1{y^2},\]
即
\[xy(x^2+y^2)+\frac {x^2+y^2}{x^3y^3}\geqslant x^2+y^2+\frac {x^2+y^2}{x^2y^2},\]
约后即
\[t+\frac 1{t^3}\geqslant 1+\frac 1{t^2},\]
即
\[(t-1)\left( 1-\frac 1{t^3} \right)\geqslant 0,\]
显然成立。

力工

k神玩不等式，如玩泥丸，一个字“服”！回复 6# kuing

yao4015

回复 6# kuing

越来越有意思了, 似乎有某种单调性.  双边混合一下, 看看难度如何,
$$x^4y^2+\frac{1}{x^4y^2}+x^2y^4+\frac{1}{x^2y^4}\geq x^3y^2+\frac{1}{x^3y^2}+x^2y^3+\frac{1}{x^2y^3}.$$

kuing

回复 8# yao4015

因为
\[x^3y^2+\frac 1{x^3y^2}\leqslant (x^3y^2)^{6/5}+\frac 1{(x^3y^2)^{6/5}},\]
所以只需证
\[x^4y^2+\frac 1{x^4y^2}+x^2y^4+\frac 1{x^2y^4}\geqslant (x^3y^2)^{6/5}+\frac 1{(x^3y^2)^{6/5}}+(x^2y^3)^{6/5}+\frac 1{(x^2y^3)^{6/5}},\]
显然有
\begin{align*}
x^4y^2+x^2y^4&\geqslant (x^3y^2)^{6/5}+(x^2y^3)^{6/5},\\
\frac 1{x^4y^2}+\frac 1{x^2y^4}&\geqslant \frac 1{(x^3y^2)^{6/5}}+\frac 1{(x^2y^3)^{6/5}},
\end{align*}
即得证。

isee

你来我往，越来赵看不懂了

yao4015

回复 9# kuing

证法不错,  确实是某种单调性. 非常感谢 kuing 的证明.  下面给出我自己对~8 楼不等式的证法, 只使用 A-G 不等式

首先:
$$9x^4y^2+2y^4x^2+\frac{1}{x^4y^2}\geq 12 \sqrt[12]{x^{(9\times 4+2\times 2-4)} y^{(9\times 2+2\times 4-2)}}=12x^3y^2$$
然后交换~$(x,y)$, 获得
$$9y^4x^2+2x^4y^2+\frac{1}{y^4x^2}\geq 12y^3x^2;$$
上式再取倒数~$(x,y)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y})$, 得到
$$9\frac{1}{y^4x^2}+2\frac{1}{x^4y^2}+y^4x^2\geq 12\frac{1}{y^3x^2};$$
最后再交换~$(x,y)$, 得
$$9\frac{1}{x^4y^2}+2\frac{1}{y^4x^2}+x^4y^2\geq 12\frac{1}{x^3y^2};$$
四式相加, 两边除以 12, 得证.

另外1楼其余两个不等式有完全类似的证法.  这些不等式是一个一般结果的特例, 它们也都是 Klein 四元群的不变量.

zhcosin

仰望高端玩家。。。。。。