QQ空间看到的一题——椭圆定长弦

kuing

刚才刷QQ空间时看到这样一题：

（11月广东百校联考高三理科20(2)）

@isee 用的是直线的参数方程，这里俺试试强行变圆来玩。

解：作变换 $y\to2\sqrt2y$，则椭圆变成圆 $x^2+y^2=8$。

设变换前弦的斜率、长度以及在 $y$ 轴上的截距分别为 $k$, $L$, $m$，则变换后相应的量变为
\[\led
k'&=2\sqrt2k,\\
L'&=\frac{\sqrt{1+k'^2}}{\sqrt{1+k^2}}\cdot L,\\
m'&=2\sqrt2m,
\endled\]
设变换后弦与圆心的距离为 $d$，则有
\[d=\sqrt{R^2-\left( \frac{L'}2 \right)^2}
=\sqrt{R^2-\frac{L^2}4\cdot\frac{1+k'^2}{1+k^2}},\]
且
\[\frac{m'}d=\sqrt{1+k'^2},\]
所以
\[m'=\sqrt{1+k'^2}\sqrt{R^2-\frac{L^2}4\cdot\frac{1+k'^2}{1+k^2}},\]
代入 $R^2=L^2=8$, $k'^2=8k^2$, $m'=2\sqrt2m$，得
\begin{align*}
m&=\frac{\sqrt{1+8k^2}}{2\sqrt2}\sqrt{8-2\cdot\frac{1+8k^2}{1+k^2}}\\
&=\sqrt{21-8(k^2+1)-\frac{49}{4(k^2+1)}}\\
&\leqslant\sqrt{21-14\sqrt2}\\
&=\sqrt{14}-\sqrt7,
\end{align*}
取等略。

isee

回复 1# kuing

源自广东2017年11月百校联考高三理科第20（2）

题：已知椭圆$C:\dfrac {x^2}8+y^2=1$，设不与坐标轴平行的直线$l$交椭圆$C$于$M,N$两点，若$\abs{MN}=2\sqrt 2$，记直线$l$在$y$轴上的截距为$m$，求$m$的最大值.

不过，这与解析几何几乎没差，只不过，最后对$m$的最值处理更老练.

我只是想了下圆，似乎得不到几何最值点，木想到，还是关于k的变量，“假”平几法。。。

kuing

回复 2# isee

yes，假平几法说得好

isee

回复 3# kuing


    kuing 功力深厚，只是这么一说，还是学习了！

isee

题外话，图片被你缩小了吧？不会这么“糊”吧？

kuing

回复 5# isee

嗯，缩了，原图尺寸比较大