求正方体的一顶点到面的距离

realnumber

正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$,棱长为4,点A始终在面α内,面ABCD与面α成30°,
求$C_1$到面α的距离的最大值.

设$\vv{n}$为面α的一个单位法向量,$\vv{AA_1}=\vv{a},\vv{A_1C_1}=\vv{b}$,$\sqrt{2}\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}}=4\sqrt{2}$
<$\vv{a},\vv{n}$>=30°,$\vv{a}·\vv{b}=0$,求$\abs{(\vv{a}+\vv{b})·\vv{n}}$的最大值.
引入$\vv{c}$,$\vv{a}·\vv{c}=\vv{c}·\vv{b}=0,\abs{\vv{c}}=1$,并设$\vv{n}=x\vv{a}+y\vv{b}+z\vv{c}$
以下略,有没其它办法.

敬畏数学

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挺流行的目前。

kuing

图是不是这样画？：

kuing

建系也很简单，以 $A$ 为原点，$AB$, $AD$, $AA_1$ 为坐标轴且 $C_1(4,4,4)$，设 $\bm n$ 为面 $\alpha$ 的法向量，由于面 $ABCD$ 的法向量在 $z$ 轴上，故 $\bm n$ 与 $z$ 轴成 $30\du$，轨迹形成圆锥面，当其长度取定时，即为一圆，由此可不妨设 $\bm n=\bigl(\cos t,\sin t,\sqrt3\bigr)$，那么 $\alpha$ 的方程为 $\cos t\cdot x+\sin t\cdot y+\sqrt3\cdot z=0$，那么 $C_1$ 到 $\alpha$ 的距离为
\[d=\frac{\bigl|4\cos t+4\sin t+4\sqrt3\bigr|}{\sqrt{\cos^2t+\sin^2t+3}}=2\cos t+2\sin t+2\sqrt3,\]
所以 $d$ 的范围为 $\bigl[-2\sqrt2+2\sqrt3,2\sqrt2+2\sqrt3\bigr]$。

realnumber

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    恩,是这样的,

kuing

最后再来讲讲代码，为了美观，单字母向量建议用粗体（\bm）而不用箭头（\vv）。
另外，角括号用 \langle ... \rangle

原代码：

1. 设$\vv{n}$为面α的一个单位法向量,$\vv{AA_1}=\vv{a},\vv{A_1C_1}=\vv{b}$,$\sqrt{2}\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}}=4\sqrt{2}$
2. <$\vv{a},\vv{n}$>=30°,$\vv{a}·\vv{b}=0$,求$\abs{(\vv{a}+\vv{b})·\vv{n}}$的最大值.
3. 引入$\vv{c}$,$\vv{a}·\vv{c}=\vv{c}·\vv{b}=0,\abs{\vv{c}}=1$,并设$\vv{n}=x\vv{a}+y\vv{b}+z\vv{c}$

Copy the Code

效果：

设$\vv{n}$为面α的一个单位法向量,$\vv{AA_1}=\vv{a},\vv{A_1C_1}=\vv{b}$,$\sqrt{2}\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}}=4\sqrt{2}$
<$\vv{a},\vv{n}$>=30°,$\vv{a}·\vv{b}=0$,求$\abs{(\vv{a}+\vv{b})·\vv{n}}$的最大值.
引入$\vv{c}$,$\vv{a}·\vv{c}=\vv{c}·\vv{b}=0,\abs{\vv{c}}=1$,并设$\vv{n}=x\vv{a}+y\vv{b}+z\vv{c}$

修改后：

1. 设 $\bm n$ 为面 $\alpha$ 的一个单位法向量, $\vv{AA_1}=\bm a$, $\vv{A_1C_1}=\bm b$, $\sqrt2\abs{\bm a}=\abs{\bm b}=4\sqrt2$
2. $\langle\bm a,\bm n\rangle=30\du$, $\bm a\cdot\bm b=0$, 求 $\abs{(\bm a+\bm b)\cdot\bm n}$ 的最大值.
3. 引入 $\bm c$, $\bm a\cdot\bm c=\bm c\cdot\bm b=0$, $\abs{\bm c}=1$, 并设 $\bm n=x\bm a+y\bm b+z\bm c$

Copy the Code

效果：

设 $\bm n$ 为面 $\alpha$ 的一个单位法向量, $\vv{AA_1}=\bm a$, $\vv{A_1C_1}=\bm b$, $\sqrt2\abs{\bm a}=\abs{\bm b}=4\sqrt2$
$\langle\bm a,\bm n\rangle=30\du$, $\bm a\cdot\bm b=0$, 求 $\abs{(\bm a+\bm b)\cdot\bm n}$ 的最大值.
引入 $\bm c$, $\bm a\cdot\bm c=\bm c\cdot\bm b=0$, $\abs{\bm c}=1$, 并设 $\bm n=x\bm a+y\bm b+z\bm c$

kuing

回复 3# kuing

突然发现打错了单词：get max 竟然打成了 gat max

isee

回复 6# kuing


    \left< 少几个字母，且自适应，不过，这玩决要成对，否则要个 \right. 也差不多字母了

kuing

回复 8# isee

明显无须自适应时建议不要自适应，自适应不但要成对，而且里面还不能断行，容易造成右凸出，当然这是说在真 latex 中的习惯了，在这里随意。

游客

走走看看

回复 10# 游客

游客的图便于联想，很好。有点美中不足的地方是把A与A1互换了一下，另一点是左上图的圆锥底面应该画到底面对角线AC之外。
$刚才检查了下，棱长为4，看成了棱长为1，最短\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}*4=-2\sqrt{2}+2\sqrt{3},最长\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}*4=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}。$

走走看看

回复 1# realnumber

$按照你的思路，|（\vv{a}+\vv{b}）(\vv{n})|=|16x+32y|，往后再怎么求它的最大值呢？$

realnumber

回复 12# 走走看看

已知条件$\abs{\vv{c}}=1$,以及30度(用数量积公式)也用x,y表示出来.然后你会知道怎么做的.

力工

怎么想象这个长度就只有两个值？一个是面$ABCD$与点$C_1$在平面${alpha}$的同侧时，一个是异侧时。

走走看看

回复 13# realnumber

$在\vv {a}·\vv {c}=\vv {c}·\vv {b}=0的前提下，|\vv {c}|是否是1没有关系，|(\vv {a}+\vv {b})·\vv {n}|=|x\vv {a}^2+y\vv {b}^2|=|16x+32y|。$
$根据cos<\vv {n},\vv {a}>=cos60°=\frac{\sqrt{3}}{2},即\frac{x\vv{a}^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$
$整理得到1021x^2-3y^2-3z^2=0。$

恕我愚笨，越算越复杂。请赐教！

其妙

回复 15# 走走看看
楼主的基向量没选择好，导致运算复杂，
本题用柯西不等式即可得到最大值和最小值：
$-\sqrt{2(x^2+y^2)}\leqslant x+y\leqslant\sqrt{2(x^2+y^2)}$

走走看看

回复 16# 其妙

请问x、y分别是什么？按照你的意思，岂不是最小值为负的吗？

走走看看

回复 4# kuing

$请教Kuing大神，这里参数t是指哪个角？想弄买白法向量n的确定依据，特别是还配了个\sqrt{3}。$

其妙

回复 17# 走走看看
那个不等式只是其中一部分，另一部分是常数$2\sqrt3$

走走看看

回复 18# 走走看看

本人向来不精细，把法向量的模看成了4，其实是2，这样，就好理解了。
不知道如何才能改掉粗心的习惯。