向酷鹰致敬！

xzlbq

三角形中证明
\[\left( b+c \right) {\it m_a}+{\it m_c}\, \left( a+b \right) \geq b{\it m_b}+
2\,{\it m_a}\,\sqrt {3}{\it m_c}\]

isee

回复 1# xzlbq


    测试公式吧，如果是，该向$\mathrm \LaTeX$致敬，向kuing学习

kuing

欢迎 LBQ！

公式代码放在美元符号中即可

如：\$(b+c)m_a+m_c(a+b)=bm_b+2m_a\sqrt3m_c\$

得：$(b+c)m_a+m_c(a+b)=bm_b+2m_a\sqrt3m_c$


详细说明见置顶帖。

其妙

回复  xzlbq


    测试公式吧，如果是，该向$\mathrm \LaTeX$致敬，向kuing学习
isee 发表于 2017-12-7 18:38

不是，是不等式资深高级玩家，欢迎！

敬畏数学

不等式玩家。这称呼很好。。。。

zhcosin

酷鹰。。。。

xzlbq

三角形中,设m_a,m_b,m_c是三角形中线，证明
\[\left( b+c \right) {\it m_a}+{\it m_c}\, \left( a+b \right) \geq b{\it m_b}+
2\sqrt {3}{\it m_a}{\it m_c}\]

xzlbq

回复 7# xzlbq


    说实话，这个不等式比较好看，who can do it?

xzlbq

在“珠峰不等式“（ 微信号zhufengbudengshi）第64期中，我把这个不等式推广为三角形规范几何量不等式，即有不等式

\[\left( b+c \right) {\it h_a}+{\it h_c}\, \left( a+b \right) \geq b{\it h_b}+
2\sqrt {3}{\it h_a}{\it h_c}\]

但它等价于

\[{\frac {a+b}{c}}+{\frac {b+c}{a}}\geq 1+2\,\sqrt {3}\sin \left( B \right) \]

这个不等式又有加强式

\[{\frac {a+b}{c}}+{\frac {b+c}{a}}\geq 1+2(\sum{\tan{\frac{A}{2}}})\sin \left( B \right) \]
<=>
\[{\frac {y+z}{x+y}}+{\frac {z+x}{x+y}}+{\frac {z+x}{y+z}}+{\frac {x+y}{
y+z}}\geq 1+4\,{\frac {yz}{ \left( x+y \right)  \left( y+z \right) }}+4\,{
\frac {xz}{ \left( x+y \right)  \left( y+z \right) }}+4\,{\frac {xy}{
\left( x+y \right)  \left( y+z \right) }}
\]
easy.Done!

xzlbq

下面讨论将规范几何量取为角平分线的情形，此时，把不等式的形式变化一下

${\frac {a+b}{{\it w_a}}}+{\frac {b+c}{{\it w_c}}}-{\frac {b{\it w_b}}{{
\it w_c}\,{\it w_a}}}\geq 2\,\sqrt {3}
$

但此时很难

xzlbq

受10楼形式的启发，我们有类似式：



欢迎大家提供证法。具体来源请参阅我的公众号

zdyzhj

这种炸弹不等式有什么难的两边平方一下就完蛋了

zdyzhj

最终要解一个七次多项式，但可一行显式分解

xzlbq

\begin{aligned}
&\frac{\left(m_a+r_a\right)^2}{w_a\left(2 r_a+m_a\right)} \geq \frac{1}{4} \frac{(b+c)^2}{s(s-a)} \\
& \Rightarrow \sum \frac{\left(m_a+r_a\right)^2}{w_a\left(2 r_a+m_a\right)} \geq 2+\frac{R}{r}
\end{aligned}
这个不容易