求线段长度之比

TSC999

如上图，O 是三角形 ABC 内部的一点，已知 △OAB 面积是 60，△OAC 面积是 30，△OBC 面积是 120。
另外，D 在 AB 上，AD 与 DB 的长度之比是 3:2；E 在 AC 上，AE 与 EC 的长度之比是 2:1。连接 DE 交
OB 于 M，交 OC 于 N。
问：(1) OM:MB=?    (2) △OMN 的面积是多少？

TSC999

这道题是 2017 年大师赛五年级二试题。我做了半天也没有找到门路。

TSC999

上面这题做是能做出来的。不过我用的方法很多，等高模型、燕尾模型、鸟头模型、相乘模型、解方程，都用到了。这叫使出浑身解数，或是拿出十八般兵器，才解出的。所以是小题大做了，虽然这些方法都是小学五年级奥数范围，但是我想一定还有简单巧妙的解法。

kuing

延长 $BO$ 交 $AC$ 于 $F$，作 $FG\px DE$ 交 $AB$ 于 $G$。



因为 $AF:FC=\S{OAB}:\S{OBC}=1:2$，而 $AE:EC=2:1$，故 $AF:FE=1:1$，即 $AG:GD=1:1$，而 $AD:DB=3:2$，故 $GD:DB=1.5:2$，即 $FM:MB=3:4$，又 $FO:FB=\S{OAC}:\S{ABC}=1:7$，由此可得 $OM:MB=1:2$。

用同样的方法可以证明 $ON:NC=2:3$，那么 $\S{OMN}:\S{OBC}=(1:3)\times(2:5)=2:15$，所以 $\S{OMN}=16$。

TSC999

楼上的版主解法简明，尽管计算过程省略了许多，但至少不用解方程了。

kuing

来写个高中解法，三个面积知道，根据那个经典FAQ，来试试向量解。

不妨设 $\vv {OA}=\bm a$, $\vv {OB}=\bm b$, $\vv {OC}=\bm c$，则有
\[120\bm a+30\bm b+60\bm c=\bm 0\iff \bm a=-\frac 14\bm b-\frac 12\bm c,\]
那么
\begin{align*}
\vv {OD}&=\frac 25\bm a+\frac 35\bm b=\frac 12\bm b-\frac 15\bm c,\\
\vv {OE}&=\frac 13\bm a+\frac 23\bm c=-\frac 1{12}\bm b+\frac 12\bm c,
\end{align*}
设 $P$ 为直线 $DE$ 上任意一点，则
\[\vv {OP}=\lambda \vv {OD}+(1-\lambda )\vv {OE}=\left( \frac 7{12}\lambda -\frac 1{12} \right)\bm b+\left( -\frac 7{10}\lambda +\frac 12 \right)\bm c,\]
于是，令
\begin{gather*}
-\frac 7{10}\lambda +\frac 12=0\riff \lambda =\frac 57\riff \frac 7{12}\lambda -\frac 1{12}=\frac 13\riff \vv {OM}=\frac 13\bm b,\\
\frac 7{12}\lambda -\frac 1{12}=0\riff \lambda =\frac 17\riff -\frac 7{10}\lambda +\frac 12=\frac 25\riff \vv {ON}=\frac 25\bm c,
\end{gather*}
所以
\begin{align*}
\S{OMN}&=\frac 13\cdot \frac 25\cdot\S{OBC}=16,\\
OM:MB&=1:2,\\
ON:NC&=2:3.
\end{align*}

isee

回复 6# kuing

你真“无聊”啊，还不是要解决“分点”，向量当然能干。。。

isee

回复 6# kuing

当然喽，这个“无聊”还是有意思的，，，，，很好的学习示范例答。。。。