求和

student_qwh

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（转载）

战巡

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楼主请自行百度“伯努利数”
这玩意没有初等表达式，只能以母函数的形式表达，或以黎曼$\zeta$函数表达

student_qwh

谢

hbghlyj

Faulhaber's formula\[\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\frac {B_{k}}{k!}}p^{\underline {k-1}}n^{p-k+1}\]
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hbghlyj

From examples to matrix theorem
It is possible to obtain the coefficients of the polynomials of the sums of powers of successive integers without resorting to the numbers of Bernoulli but by inverting the matrix easily obtained from the triangle of Pascal. / 无需求助于伯努利数，通过求帕斯卡矩阵的逆，可以获得自然数幂求和公式的系数。
将多项式转化为组合数的过程一般化，对一个多项式求和有如下公式：
\[\sum _{k=1}^{n}p(k)={\begin{pmatrix}C_{1}^{n}&C_{2}^{n}&\cdots &C_{m+1}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C_{0}^{0}&0&\cdots &0\\-C_{0}^{1}&C_{1}^{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{m}C_{0}^{m}&(-1)^{m-1}C_{1}^{m}&\cdots &C_{m}^{m}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots \\p(m+1)\end{pmatrix}}\]
证明见zh.m.wikibooks.org/zh-hans/代數/本書課文/求和/組合數求和#求多項式的和

hbghlyj

(红色=使用了黎曼积分的定义)
$$\frac{\sum _{k=1}^{n}k^{p}}{n^{p+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty}  \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{p}\color{red}=\int_{0}^{1} x^{p} \mathrm{~d} x=\left.\frac{x^{p+1}}{p+1} \right|_{0} ^{1}=\frac{1}{p+1}$$
$p$不为整数时, 求和公式不是多项式, 但以上依然成立: 当$p=-\frac12$时得到$$\frac{\sum_{k=1}^n k^{-1/2}}{\sqrt n}\to2$$
见这帖使用欧拉-麦克劳林公式可得到任意阶的估计, 例如:
$$\sum_{k=1}^n k^{-1/2}-2\sqrt n\to\zeta\left(\frac12\right)$$