一道不等式

血狼王

若$a,b,c$均为正实数，求证
$$\sum_{cyc} a\sqrt{\frac{b}{a+2c}}\leq \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}$$

Infinity

由均值不等式\[\sum_{cyc} a\sqrt{\frac{b}{a+2c}}\leqslant \sqrt{\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{a^2b}{a+2c}}\]故\[\begin{split}&\sum_{cyc} a\sqrt{\frac{b}{a+2c}}\leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\\
\iff& \sum_{cyc}\frac{a^2b}{a+2c}\leqslant (\sum_{cyc}a)^2\\
\iff&\sum_{cyc}a^2+\sum_{cyc}ab\left(2-\frac{a}{a+2c} \right)=\sum_{cyc}a^2+\sum_{cyc}ab+2\sum_{cyc}\frac{abc}{a+2c}\geqslant0\end{split}\]

血狼王

回复 2# Infinity


解答写的很好，谢谢

Infinity

回复 3# 血狼王

可是最后一步看不出取等号在a=b=c时呢

血狼王

回复 4# Infinity


等等，……
$$\sum_{cyc} a\sqrt{\frac{b}{a+2c}}\leqslant \sqrt{\frac{1}{3}\sum_{cyc}\frac{a^2b}{a+2c}}$$
错了，1/3应该改成3

Infinity

回复 5# 血狼王


    谢谢，怪不得我一直觉得不对劲……