原根猜想

student_qwh

蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数，                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                             
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.        

10是如下素数的原根：
223
22222223
22222222223
222222222222222222222222222222222223
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数，                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.

10是如下素数的原根：
337
333337
3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数，                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.        

10是如下素数的原根：
4447
4444444447
44444444444444444447
44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数，                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.         

10是如下素数的原根：
887
8887
888887
888888887
888888888887
888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数，                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759.      

10是如下素数的原根：
229
22229
22222222222229


蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数，                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624.

10是如下素数的原根：
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779


蔡家雄猜想

设P为素数，且4P+1同为素数，
若 (4P+1)  mod  40=29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29同为素数，
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。

断言：这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[k = 0, k <= 100000000, k++,
If[PrimeQ[7 + 30 k] && PrimeQ[29 + 120 k], s = s + 1;
  Print[s, "---", k, "---", 7 + 30 k, "----", 29 + 120 k, "---",
   MultiplicativeOrder[10, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]


蔡家雄猜想：

设P和2P+1都是素数，
根据费马小定理，易知
当素数P>=11时，
1/(2P+1)的循环节长度或是P, 或是2P.

若 (2P+1)  mod  40=3或27或39，
则1/(2P+1)的循环节长度一定是P ，（半节）

若 (2P+1)  mod  40=7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。（全节）

断言：这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证：
s = 0;
For[p = 2, p <= 1000000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1]) && (Mod[2 p + 1, 40] == 7 ||
     Mod[2 p + 1, 40] == 19 || Mod[2 p + 1, 40] == 23), s = s + 1;
  Print[s, "-----", p, "-----", 2 p + 1, "-------", Mod[2 p + 1, 40],
   "-------", MultiplicativeOrder[10, 2 p + 1] == 2 p]]]



蔡家雄猜想

设n>=6,
设P和 2^n×P+1 都是素数，
若（2^n×P+1） mod    40=17或33，
则整数10是素数（2^n×P+1）的一个原根。
则1 /（2^n×P+1）具有最大循环节长度。

student_qwh

转载

zhcosin

"断言：这个猜想不可能被推翻。"
谁给你的胆子？既然是猜想，就说明既没被证明为真，也没被证明为假，那就一切皆有可能，包括黎曼猜想。
猜想就是猜想，一切断言都是耍流氓!

student_qwh

对不起
此言非我出
我只是数学的搬运工
谢谢提醒

hbghlyj

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29同为素数，
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。

1. FindInstance[k ∈ PositiveIntegers && 30 k + 7 ∈ Primes &&120 k + 29 ∈ Primes && MultiplicativeOrder[10, 120 k + 29] != 120 k + 28, k]

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未找到反例。

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
若 (2P+1)  mod  40=7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。

1. FindInstance[p∈Primes&&2p+1∈Primes &&(Mod[2 p+1,40]==7||Mod[2 p+1,40]==19||Mod[2 p+1,40]==23)&& MultiplicativeOrder[10,2p+1] != 2p,p]

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未找到反例。

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
若 (2P+1)  mod  40=3或27或39，
则1/(2P+1)的循环节长度一定是P。

1. FindInstance[p∈Primes&&2p+1∈Primes&&(Mod[2 p+1,40]==3||Mod[2 p+1,40]==27||Mod[2 p+1,40]==39)&&MultiplicativeOrder[10,2 p+1]!=p,p]

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未找到反例。
这3个都感觉是正确的😊

hbghlyj

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29同为素数，
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。

证明: 只需在下面的题目中取$q=30k+7$

Let $q$ be prime such that $p=4q+1$ is also prime and $q\equiv 2\ (\text{mod}\ 5)$.

Prove that $10$ is a primitive root modulo $p$.

@Stefan4024 's answer
You can use Euler's Criterion. We would have:
$$10^{2q} = 10^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{10}{p}\right) \pmod p$$
where $\left(\frac{10}{p}\right)$ is the Legendre Symbol.  Now we have:
$$\left(\frac{10}{p}\right) = \left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{5}{p}\right) = (-1) \cdot 1 = -1$$
Hence
$$10^{2q} \equiv -1 \pmod p$$

---

Here's why $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$ and $\left(\frac{5}{p}\right) = 1$.
First note that $q$ is odd, so we have that $q=2k+1$ and so $p = 8k + 5$. This implies that $\left(\frac{2}{p}\right) = -1$, as $p \equiv 5 \pmod 8$.
For the other one we have that $q\equiv 2 \pmod 5$ from the condition and so $p \equiv 4\cdot2 + 1 \equiv 4 \pmod 5$ and so $\left(\frac{p}{5}\right) = 1$. By the law of quadratic reciprocity $\left(\frac{5}{p}\right) = 1$.

仿照此题可证明:

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
若 (2P+1)  mod  40=7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。

为证明10是$2p+1$的一个原根，只需证$\left(\frac{10}{2p+1}\right)=-1$。
$$\left(\frac{10}{2p+1}\right)=\color{magenta}{\left(\frac2{2p+1}\right)}\color{blue}{\left(\frac5{2p+1}\right)}$$
由second supplement$\left(\frac2{2p+1}\right)=1⇔2p+1\equiv±1\pmod8$
因为$2\nmid p$且$2\nmid2p+1$,只能有$2p+1\equiv-1,3\pmod8$.即$$\color{magenta}{\left(\frac2{2p+1}\right)}=\begin{cases}1&2p+1\equiv-1\pmod8\\-1&2p+1\equiv3\pmod8\end{cases}$$
由Law of quadratic reciprocity$\frac{(2p+1)-1}2\cdot\frac{5-1}2=2p\equiv0\pmod2$,故$\left(\frac5{2p+1}\right)=\left({\frac {2p+1}{5}}\right).$
$\left(\frac5{2p+1}\right)=1⇔\left({\frac {2p+1}{5}}\right)=1⇔2p+1\equiv±1\pmod5.$
因为$5\mid p$且$5\nmid2p+1$为奇数,只能有$2p+1\equiv-1,±2\pmod5$.即$$\color{blue}{\left(\frac5{2p+1}\right)}=\begin{cases}1&2p+1\equiv-1\pmod5\\
-1&2p+1\equiv±2\pmod5\end{cases}$$
因此$\left(\frac{10}{2p+1}\right)=-1$只有3种组合方式:
−1(mod 8),2(mod 5)$⇔2p+1\equiv7\pmod{40}$
−1(mod 8),−2(mod 5)$⇔2p+1\equiv23\pmod{40}$
3(mod 8),−1(mod 5)$⇔2p+1\equiv19\pmod{40}$

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
若 (2P+1)  mod  40=3或27或39，
则1/(2P+1)的循环节长度一定是P。

根据上题$\left(\frac{10}{2p+1}\right)=-1$只有3种组合方式:
−1(mod 8),−1(mod 5)$⇔2p+1\equiv39\pmod{40}$
3(mod 8),2(mod 5)$⇔2p+1\equiv27\pmod{40}$
3(mod 8),−2(mod 5)$⇔2p+1\equiv3\pmod{40}$

hbghlyj

@kuing 建议加[数论]分类

hbghlyj

student_qwh 发表于 2017-12-17 02:59
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数，                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。

这个正确吗