求教一个有关椭圆的想法能否成立？

lemondian

过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$外一点P（m,n)作椭圆的两条切线，切点分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,请问$x_1x_2+y_1y_2$是不是定值？如果是定值，则这个定值是多少？

kuing

显然不定啊，如果 P 非常接近椭圆，那么该值非常接近 OP^2，如果 P 非常远，那么该值必为负。

lemondian

看得不懂（P非常远时）
抛物线有定值，我以为椭圆 ，双曲线也有。

zhcosin

显然不定啊，因为
\[ x_1x_2+y_1y_2 = \vec{OA} \cdot \vec{OB} \]
你要说这个可能是定值么？然而它可以是正值、负值、零值，看两个向量夹角情况了。
椭圆上随便找两个点$A$和$B$，只要它俩连线不过椭圆中心，则这两个点处的切线就必定相交于某个点$P$。

lemondian

回复 4# zhcosin


    这个式好理解。
我所说的定值是指：结果只与a,b,m,n有关呀。

色k

…………

zhcosin

回复 6# 色k
哈哈，我也无语了