大家看看这个不等式如何证明？

lemondian

若$0<a<b<c<d$，且$a+d=b+c$，证明：当t>1或t<0时，$a^t+d^t>b^t+c^t$.同时，当0<t<1时，不等号反向。

色k

和你上次这个forum.php?mod=viewthread&tid=5004道理是一样的

lemondian

回复 2# 色k

有证明方法吗？
我能想到的：好象可以用凸函数来做。

kuing

本质就是凸函数的基本性质，也是画个图看斜率就知道了。

要严格证的话，简单的比如用拉格朗，令 $f(x)=x^t$，有 $b^t-a^t=f'(\xi_1)(b-a)$, $d^t-c^t=f'(\xi_2)(d-c)$，其中 $\xi_1\in(a,b)$, $\xi_2\in(c,d)$，故 $\xi_1<\xi_2$，于是由 $f'(x)$ 的单调性（也就是 $f(x)$ 的凹凸性）即可得出结论。

kuing

嘛，你肯定正在嫌弃拉格朗，非要所谓高中证法，那也简单，令 $b-a=d-c=h>0$，则 $a^t+d^t=(b-h)^t+(c+h)^t=g(h)$，求导得 $g'(h)=-t(b-h)^{t-1}+t(c+h)^{t-1}=t(d^{\color{red}{t-1}}-a^{\color{red}{t-1}})$，故显然当 $t>1$ 或 $t<0$ 时 $g'(h)>0$，所以 $g(h)>g(0)=b^t+c^t$，当 $0<t<1$ 时反向。

lemondian

回复 5# kuing

这个好，高中学生能看懂。N
可是当0<t<1时，如何就能说明其反向呢？

kuing

回复 6# lemondian

昨晚写错了两个指数，已修改，你再看看。

lemondian

回复 7# kuing


    怪不得呢？谢谢了