数论问题

白兔糖

第一题第一问

白兔糖

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    \tau(n)是表示为n写成2个数乘积的方法总数

hbghlyj

白兔糖 发表于 2017-12-22 09:45
1. 证明: (i) $\sum_{d \mid n} \tau^3(d)=\left\{\sum_{d \mid n} \tau(d)\right\}^2$ ；
(ii) $\tau_1(n)=\sum_{d \mid n} \tau_{l-1}(d), l \geqslant 2, \tau_1(n)$

请问你找到解决办法了吗？

hbghlyj

1(i)它类似$1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2$吗？

睡神

取$n=20$，则$d=1,2,4,5,10,20$
$τ(1)=1,τ(2)=1,τ(4)=2,τ(5)=1,τ(10)=2,τ(20)=3$
左边=46，右边=100？是不是我理解错了？

睡神

设$n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{\alpha_i}$，其中$p_i$为素数，且$\alpha_i\in N$，$\varphi(n)$为正整数$n$的正因数的个数

则$d=\prod_{i=1}^k{p_i}^{\beta_i}$，其中$0\le\beta_i\le\alpha_i$，则$\tau(d)=\varphi(d)=\prod_{i=1}^k(\beta_i+1)$

原等式  $\iff$  \[\sum\prod_{i=1}^k(\beta_i+1)^3=\Bigg(\sum\prod_{i=1}^k(\beta_i+1)\Bigg)^2\]
至于这个恒等式，上无脑之中又带点霸道的数归应该问题不大，其它的我就不懂了，交给k神他们表演吧

kuing

睡神 发表于 2024-2-23 01:11
设$n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{\alpha_i}$，其中$p_i$为素数，且$\alpha_i\in N$，$\varphi(n)$为正整数$n$的正 ...

就是用 `1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2` 来证就可以了，只是写起来有点麻烦，我举一个具体例子来写好了，一般情形是同理的。

比如 `n=2^a\times3^b\times5^c`，按楼上的分析知，原式等价于
\[\sum_{x=0}^a\sum_{y=0}^b\sum_{z=0}^c(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^3=\left(\sum_{x=0}^a\sum_{y=0}^b\sum_{z=0}^c(x+1)(y+1)(z+1)\right)^2,\]
也就是
\[\sum_{x=1}^{a+1}\sum_{y=1}^{b+1}\sum_{z=1}^{c+1}x^3y^3z^3=\left(\sum_{x=1}^{a+1}\sum_{y=1}^{b+1}\sum_{z=1}^{c+1}xyz\right)^2,\]
那么
\begin{align*}
\LHS&=\sum_{y=1}^{b+1}\sum_{z=1}^{c+1}\left( {\left(\sum_{x=1}^{a+1}x^3\right)y^3z^3} \right)\\
&=\left(\sum_{x=1}^{a+1}x\right)^2\sum_{y=1}^{b+1}\sum_{z=1}^{c+1}y^3z^3\\
&=\left(\sum_{x=1}^{a+1}x\right)^2\sum_{z=1}^{c+1}\left( {\left(\sum_{y=1}^{b+1}y^3\right)z^3} \right)\\
&=\left(\sum_{x=1}^{a+1}x\right)^2\left(\sum_{y=1}^{b+1}y\right)^2\sum_{z=1}^{c+1}z^3\\
&=\left(\sum_{x=1}^{a+1}x\right)^2\left(\sum_{y=1}^{b+1}y\right)^2\left(\sum_{z=1}^{c+1}z\right)^2\\
&=\RHS.
\end{align*}