再来一个不等式

lemondian

设正数a,b,c满足$a+b+c=3$。求证：$(\frac{3}{a}-2)(\frac{3}{b}-2)(\frac{3}{c}-2)\leqslant \dfrac{2ab}{a^2+b^2}$

kuing

很简单啊
\[\frac 3a-2=\frac {a+b+c}a-2=\frac {b+c-a}a,\]
所以等价于
\[(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leqslant abc\cdot \frac {2ab}{a^2+b^2},\]
如果 $a$, $b$, $c$ 不构成三角形三边则左边 $\leqslant0$ 显然成立，当 $a$, $b$, $c$ 构成三角形三边，可令 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$, $x$, $y$, $z>0$，此时不等式等价于
\[8xyz\leqslant (x+y)(y+z)(z+x)\cdot \frac {2(y+z)(z+x)}{(y+z)^2+(z+x)^2},\]
化简即
\[\frac 4{(y+z)^2}+\frac 4{(z+x)^2}\leqslant \frac 1{yz}+\frac 1{zx},\]
显然成立。

lemondian

回复 2# kuing


    好N，对我来说写得有点快，我得慢慢体会一下，谢谢了！
不知是否还有其它证法？