分式三角函数的最大值

敬畏数学

$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}\sin x+\cos x}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}}(x\in[0,π])$的最大值为______。

kuing

因为
\[\cos x\leqslant \sqrt {1-\sin ^2x}=\sqrt {2-(1+\sin ^2x)}\leqslant \sqrt {2-2\sin x},\]
所以
\[f(x)\leqslant \frac {\sqrt 2\sin x+\sqrt {2-2\sin x}}{\sin x+\sqrt {1-\sin x}}=\sqrt 2,\]
当 $x=\pi/2$ 时取等。

总感觉以前撸过类似的东东……

敬畏数学

回复 2# kuing
OK！nice!