相似大小地图放一起，证有且仅有一点代表同一位置

isee

将一张包括边界的地图等比例缩小以后以任意角度放入原地图内（不将地图翻转）。
证明：有且仅有一点代表了两张地图的同一位置。

力工

回复 1# isee


    不动点。貌似应叙述为“必有表示同一位置的点重合”吧

zhcosin

你只有两个操作： 等比例缩小与平移，等比例缩小的时候是有位似中心的（任意找两组对应点连线相交，只要你不找一条直线上的四点），而平移的时候，位似中心也跟着平移。所以实际上只要证明：等比例缩小一定有位似中心。

色k

回复 3# zhcosin

是旋转位似变换
还得证明位似中心一定在小图内

zhcosin

回复 4# 色k
哦，他说不翻转，我看成不旋转了。。。。

hbghlyj

设相似形F和F'的相似中心为O*，F'在F的内部，则相似比小于1**，假设O在F外部，O到F上(含边界)一点P有非零的最小距离***，经过旋转缩小，OP'<OP，所以P'在F的外部，与题设矛盾。
注：
*转角为零的情况另当别论
**对于某些不可计算面积的奇怪图形，这里是疑点
***这个最小距离是否存在有待商榷，比如以P为中心的螺旋形不存在最小距离
****是否翻转对这道题关系不大？
类似讨论见m.nowcoder.com/questionTerminal?uuid=8fe7226a … 44d2b2e563077f89ce36
相似形和反相似形通论参见《近欧》也举了地图作为直观形象

realnumber

原图记为T1,缩小的图记为S1,
S1在T1上有个全等的印子记为T2,T2在S1上的位置为S2
依次下去有T3,S3,T4,S4,...最后缩为一个点，因为满足$S_i\subset T_i,i=1,2,3,....$
$T1\supset T2\supset T3\cdots$,和《数学分析》里的闭区间套定理一样
这样可以解释吧

hbghlyj

回复 7# realnumber
是的。但是在下初中生试图找到一个严谨的初等证法。