函数最值

wzyl1860

函数$f(x) =x^2+1+\sqrt{x^4-8x^2-16x+52}$的最小值为

kuing

$f(x)=x^2+1+\sqrt{(x^2 - 6)^2 + (2 x - 4)^2}\geqslant x^2+1+(6-x^2)=7$ 且 $f(2)=7$。

敬畏数学

设 $ y=x^2+1+\sqrt{x^4-8x^2-16x+52} $，两边平方有，
\[(10-2y)x^2+16x+y^2-2y-51=0\]显然$y\ne5$，判别式$\Delta\geqslant0$有；
\[y\geqslant 7，-2\leqslant y\leqslant 2， \]事实上，
\[x^2+1+\sqrt{x^4-8x^2-16x+52}＞2,\]即证，
\[\sqrt{x^4-8x^2-16x+52}＞1-x^2,\]当$x^2\geqslant 1$不等式显然成立；

当$x^2＜1$，两边平方，\[ 6x^2+16x-51＜0 ,\]此式显然成立。
所以所求函数的最小值为7，当$x=2$时等号成立。