分式函数的最值问题

敬畏数学

若$a,b$均为正实数，则$ \dfrac{b^2+2}{a+b} +\dfrac{a^2}{ab+1} $的最小值为_______。

kuing

\begin{align*}
\frac {b^2+2}{a+b}+\frac {a^2}{ab+1}&\geqslant \frac 2{a+b}+\frac {(a+b)^2}{a+b+ab+1}\\
&=\frac 2{a+b}+\frac {(a+b)^2}{(a+1)(b+1)}\\
&\geqslant \frac 2{a+b}+\frac {4(a+b)^2}{(a+b+2)^2}\\
&=\frac 12+\frac 1{a+b}+\frac 12+\frac 1{a+b}+\frac 1{\left( {\frac 12+\frac 1{a+b}} \right)^2}-1\\
&\geqslant 3-1,
\end{align*}$a=b=1$ 取等。

kuing

这种题也就凑好的数据才能玩，随便改一个系数都是高次方程

敬畏数学

回复 3# kuing
第一行的2，$a^2,b^2$一拆一组此题就破解了！

游客

敬畏数学

回复 5# 游客
不错思路。

游客

回复 5# 游客

这个解法，看上去比较简单，实际上很无耻，因为第一次放缩就限制了a、b的取值。

敬畏数学

回复 7# 游客
所以这种题从某种意义上来说不是那么具有推广意义，一般意义。