三次函数的切线问题

敬畏数学

直线$mx+ny+k=0$与曲线$C：y=ax^3+bx^2+cx+d(a不为0)$交于点A,B，且曲线C在A,B点处的切线平行，证明：A,B的中点(异于A，B两点)一定落在曲线C上，且为曲线C的对称中心.

zhcosin

有何难度啊，通过平移，三次曲线的方程可以变成这样
\[ y=px^3+qx \]
显然原点是这曲线的对称中心，它的导数
\[ y'=3px^2+q \]
显然关于纵轴对称，所以如果曲线上有$A$、$B$两个不同点处的切线平行，则必然这两点的横坐标互为相反数，那自然这两点就关于原点对称了，这不就完事了吗?

游客

不平移，直接用韦达定理也能算。

敬畏数学

回复 3# 游客 可以用零点式，相当导出三次方程伟大定理。是这样吗？

游客

回复 4# 敬畏数学

敬畏数学

回复 5# 游客
nice!

zhcosin

回复 5# 游客
我是作为问题在解决，你是当作考试题目在解答。

游客

1.代数运算也是解决问题的一种途径。
2、这个问题根本用不着解决：
三次曲线对称中心唯一，两侧切线斜率单调对称，想图结论就很明显。

敬畏数学

回复 8# 游客
此问题就想代数法证实一下。