请教三角形中最值问题

hcgzsxm

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c^2+ab≥kbc,则实数k的最大值是　　▲　　.

色k

很简单啊
\[ \iff \frac{2c}b+\frac bc+\frac{a-b}c\geqslant k \]
$\LHS>2\sqrt2-1$,
$b=\sqrt2c$, $a\to b-c$ ...

hcgzsxm

问题是题干中的等于号能取吗？

色k

回复 3# hcgzsxm

等号不能取，但那个值是左边的下确界（我已经给出了何时趋向它），所以k的最大值就是它。

hcgzsxm

那么，是否将题干中>=改为>更合理？

色k

没所谓，反正逻辑上都是没问题的。

hcgzsxm

那么，题干中>=改为>是否更为合理？

hcgzsxm

\begin{aligned}
& k_{\text {max }}=2 \sqrt{2}-1 . \\
& \therefore 2 c^2+a b \geqslant(2 \sqrt{2}-1) b c . \\
& \text { 当取等时 }\left\{\begin{array} { l }
{ \frac { 2 c } { b } = \frac { b } { c } } \\
{ \frac { a - b } { c } = - 1 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
b=\sqrt{2} c \\
b=a+c \text {. }
\end{array}\right.\right. \\
& 又 \because \triangle A B C 中  a+c>b 与 b=a+c \text {矛盾. }
\end{aligned}

敬畏数学

回复 8# hcgzsxm
类似改变下。A,B,C平面上任意三点，BC=a,CA=b,AB=c,(a,b,c均为正数)，则$ \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{c} $的最小值。
$ |a-b|\leqslant c\leqslant a+b $ ,$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{c} =\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{1}{2}\dfrac{a+b}{c}-\dfrac{1}{2}\dfrac{a-b}{c} \geqslant \sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$