单位圆上根式函数的范围

敬畏数学

已知$x^2+y^2=1$,则$ \sqrt{2+x+\sqrt{3}y}+2\sqrt{2+x-\sqrt{3}y} $的范围______。

kuing

这么简单，配个方不就好了
\[\text{原式}=\sqrt {\left( {x+\frac 12} \right)^2+\left( {y+\frac {\sqrt 3}2} \right)^2}+2\sqrt {\left( {x+\frac 12} \right)^2+\left( {y-\frac {\sqrt 3}2} \right)^2}\]

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回复 2# kuing
很好！此法最简单。平方，三角换元等都有点啰嗦。

游客

回复 3# 敬畏数学


  后面还有个系数2要处理的，感觉跟三角方法差不多复杂。

敬畏数学

回复 4# 游客
把完整过程写完。设$ P （x,y）,A(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}),B(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}),PA+2PB\geqslant PA+PB\geqslant AB=\sqrt{3}(P与B重合),PA+2PB= 2sin(120-A)+4sinA\leqslant 2\sqrt{7}$,(最后一步用正弦定理)。等号略。答案：$[\sqrt{3},2\sqrt{7}].$