这个题，能用数学归纳法证吗？

shidilin

这个题，能用数学归纳法证吗？

kuing

最容易想到的证明就是数归啊，见《数学空间》2011第2期P37引理 3.3.1

shidilin

谢谢答复！参考了一番。脑袋卡壳了

kuing

不用数归也容易，常规地分析就行。

引理 3.3.1. 若 $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_n\geqslant -1$ 且符号相同（这里规定有 $0$ 时也认为 $0$ 与正数或负数符号相同），则有
\[(x_1+1)(x_2+1)\cdots(x_n+1)\geqslant x_1+x_2+\cdots+x_n+1.\]

证明：如果所有变量都为正，则不等式显然成立，故只需证明所有变量都属于 $[-1,0]$ 的情形即可。

设
\[f=(x_1+1)(x_2+1)\cdots(x_n+1)-(x_1+x_2+\cdots+x_n+1),\]
固定除 $x_1$ 外的所有变量，则 $f$ 是关于 $x_1$ 的一次函数，而且 $x_1$ 的系数为 $(x_2+1)\cdots(x_n+1)-1$，由 $x_i\in[-1,0]$ 知 $(x_2+1)\cdots(x_n+1)\leqslant 1$，可见 $f$ 关于 $x_1$ 不增，所以只需证明 $x_1=0$ 时即可，对其他变量亦如此，最终就只需证明所有变量都为零的情形，此时不等式为 $1\geqslant1$，所以引理得证。