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原帖地址：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3187072
题目：
求教 2016 年上海市初三数学竞赛 第一题
首先，这题的背景显然是如下级数
\[\arctan x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots\]
以及关于 $\pi$ 的经典等式
\[\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239},\]
由此可见，原式与 $\pi$ 非常接近，但到底有多接近？是否能精确到题目要求的 8 位小数？这还需要去做误差估计。
显然，当 $0<x<1$ 时，上述级数为交错级数且各项的绝对值递减，于是由莱布尼茨定理可知
\begin{align*}
\arctan\frac15&=\frac15-\frac1{3\cdot5^3}+\frac1{5\cdot5^5}-\cdots-\frac1{11\cdot5^{11}}+M,
\quad\text{其中}~0<M<\frac1{13\cdot 5^{13}},\\
\arctan\frac1{239}&=\frac1{239}-\frac1{3\cdot239^3}+N,
\quad\text{其中}~0<N<\frac1{5\cdot239^5},
\end{align*}
将原式记为 $F$，则
\[\pi=16\arctan\frac15-4\arctan\frac1{239}=F+16M-4N,\]
下面证明 $16M<2\cdot10^{-9}$ 且 $4N<10^{-10}$，前者等价于证 $2^{12}<13\cdot5^4$，只需证 $2^9<5^4$，显然成立；后者等价于证 $4\cdot10^{10}<5\cdot239^5$，更显然成立。故此，我们有
\[-10^{-10}<-4N<16M-4N<16M<2\cdot10^{-9},\]
所以
\[\pi-2\cdot10^{-9}<F<\pi+10^{-10},\]
然后我们来背一下圆周率：$\pi=3.14159265{\color{red}{35}}89793\ldots$，所以
\[3.14159265{\color{red}{15}}<F<3.14159265{\color{red}{37}},\]
这样，$F$ 精确到 8 位小数就是 $3.14159265$。
总算证出来了，但初中生怎么搞？强行算出原式的精确值？然而实际上
\[F=\frac{1451265454989635848}{461952141943359375},\]
化成小数为 $3.141592652616334\ldots$，也真是就 8 位。
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zhcosin
Posted 2018-1-30 18:49
