数列不等式

力工

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题目如下：已知数列${a_n}$:当$n$为奇数时，$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{2a_n-2}$；当$n$为偶数时，$a_{n+1}=2a_n-2$，且$a_1=a$.
(1)证明：若$a>1$,则均有$a_n\geqslant 2(n\geqslant 2)$；
(2)证明：若$a=3$，则$4n+1<a_1+a_2+\cdots +a_{2n}<4n+3$.

kuing

第一问略；第二问也简单，过程是很常规的，并不需要高端的东东。

下面加强为证明：
\[4n+1<a_1+a_2+\cdots+a_{2n}<4n+\frac{17}8.\]

令 $b_n=a_n-2$，则 $b_1=1$，且易得
\[b_{n+1}=\led
&\frac{b_n^2}{2b_n+2},&&n~\text{为奇数},\\
&2b_n,&&n~\text{为偶数},
\endled\]
要证的不等式为
\[1<b_1+b_2+\cdots+b_{2n}<\frac{17}8,\]
显然 $b_n$ 恒正，所以左边显然成立，至于右边，根据递推式可知等价于
\[1+3(b_2+b_4+b_6+\cdots+b_{2n})-2b_{2n}<\frac{17}8,\]
因此只需证
\[b_2+b_4+\cdots+b_{2n}<\frac38,\]
易知 $b_2=1/4$，且当 $n$ 为偶数时
\[b_{n+2}=\frac{b_{n+1}^2}{2b_{n+1}+2}=\frac{2b_n^2}{2b_n+1},\]
由此易证
\[b_{n+2}\leqslant\frac{b_n}3,\]
所以
\[b_2+b_4+\cdots+b_{2n}
<\sum_{k=1}^\infty\frac1{4\cdot3^{k-1}}=\frac38,\]
即得证。

力工

回复 2# kuing
谢谢酷神！这个变换妙！