会不会循环或者能找出通项

isee

数列满足：$a_{4n+1}=1,a_{4n+3}=0,a_{2n}=a_n$，此数列会不会循环或者能写出通项？

isee

回复 1# isee

最后好像是数论问题

原问是很平凡的，如求$a_{2014}$之类的具体项的值

zhcosin

这个数列的奇下标项都清楚了，只需要看偶下标项的情况，对于任何一个偶下标$n$，因为$n$是偶数，就总有分解式$n=2^mK$，这里$m$是正整数，而$K$是一个正奇数，显然有$a_n=a_K$，而至于$a_K$，显然当$K \equiv 1 \pmod{4}$时$a_K=1$，而当$K \equiv 3 \pmod{4}$时$a_K=0$，这样整个数列就清楚了。

色k

回复 3# zhcosin

任意一项虽然都有明确的方法去计算，但整个数列的性质仍然不明朗，就如楼主提到的周期性，如何证明或证否？这恐怕就不简单，楼主发这帖大概也是这意思，俺数论弱，想不出来

isee

回复 3# zhcosin

对滴对滴。

到这一步，所以给明具体的项是可求的。

isee

回复 4# 色k


    就是想搞通项，可能只能到 zhcosin 这地步了。

zhcosin

回复 6# isee
这已经是通项了啊，如果你非要写成$a_n=f(n)$的形式也不是不能，只是太丑，而且也没啥意义。

Infinity

楼主应该说明上述等式对于$n$成立的范围，否则有可能得出矛盾。周期数列可表示为三角函数的表达式，本质上是单位根的周期性。

Infinity

如果楼主的意思是 $c,a,c,b,c,a,c,b,\cdots$ 这种数列，那么其通项为\[\begin{split}f(n)&=\frac{c}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-1)\pi i}{4}}+\frac{a}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-2)\pi i}{4}}+\frac{c}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2k(n-3)\pi i}{4}}+\frac{b}{4}\sum_{k=0}^3e^{\frac{2kn\pi i}{4}}\\
&=\frac{1}{4} \left((-1)^n (a+b-2 c)-(a-b) \left(\cos\frac{n\pi}{2}+\cos \frac{3n\pi}{2}\right)+a+b+2 c\right)\end{split}\]

kuing

回复 9# Infinity

现在还不知这个数列有没有周期啊，我个人感觉是没有的，但证不出。
原递推也不存在矛盾，每一项都是有固定方法去求的。
可以用MMC列出其前1000项：

1. a[n_] = If[Mod[n/2^IntegerExponent[n, 2], 4] == 1, 1, 0];
2. Table[a[n], {n, 1000}]

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得出：

1. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
2. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
3. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
4. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
5. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
6. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
7. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
8. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
9. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
10. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
11. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
12. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
13. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
14. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
15. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
16. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
17. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
18. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
19. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
20. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
21. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
22. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
23. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
24. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
25. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
26. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
27. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
28. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
29. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
30. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
31. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
32. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
33. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
34. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
35. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
36. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
37. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
38. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
39. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
40. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
41. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
42. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
43. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
44. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
45. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
46. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
47. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
48. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
49. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
50. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
51. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
52. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
53. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
54. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
55. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
56. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
57. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
58. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
59. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
60. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
61. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
62. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
63. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1

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zhcosin

回复 10# kuing
我也感觉没有，关键就是那个偶数分解式$n=2^mK$中的奇因子$K$的分布情况，我数论不行，研究不出来。

Infinity

回复 10# kuing

假设$n>0$以$a_{2n}=a_n$分析，可知$a_1$是孤立的，可抛去。
设$a_2=s,a_3=t$为初始条件，分析$n>3$的项。为方便，我们限定$k>0$.
$a_{4k}=a_{2k}$，下标可以不断除以2，直到等于2或者等于一个奇数为止。
当除到等于2时，则为 $a_2=a_4=a_8=a_{16}=\cdots=a_{2^{k+1}}=s$
当除到等于奇数时，就有点复杂。因为$a_{4k+2}=a_{2k+1}$，当除到只剩下3时，由于$a_3=t$，这类情况就是$a_3=a_6=a_{12}=a_{24}=\cdots=a_{3\cdot2^k}=t$.
若不是3，那么说明$n$一定是是$2^p(4k+1)$或$2^p(4k+3)$的情形，可根据已知条件得出值。

可见数列的奇数项是有周期性的，在偶数项中除去越来越分散地嵌入的$s$和$t$之外，随着$n$增大，偶数项中的01也是有规律地出现，且周期间隔按指数增长。

isee

回复 12# Infinity


    其实不懂的，只能默默的谢谢。。。。。。

realnumber

假设周期为t,
若t=1,mod4,
那么$1=a_{4k+1}=a_{4k+1+2t}=0$矛盾
若t=2,mod4
那么$1=a_{4k+1}=a_{4k+1+t}=0$矛盾
若t=3,mod4
那么$1=a_{4k+1}=a_{4k+1+2t}=0$矛盾
那么假设$t=2^mn$,m为一正整数，n为一奇数(n=1mod4或n=3mod4)。
若n=1mod4
那么$a_{16^m+t}=a_{16^m+3t}$---1
考察上式两边就有矛盾，
左边为$a_{16^m+t}=a_{8^m+n}=1$；右边为$a_{8^m+3n}=0$
若n=3mod4
那么$0=a_{16^m+t}=a_{16^m+3t}=1$矛盾，
这就说明没有周期

其妙

主要是最后一个条件破坏了周期。周期的下标是等差数列，最后一个条件的下标是等比数列，所以凭感觉不是周期数列，更不是循环数列

kuing

回复 14# realnumber

这个看懂鸟！

realnumber

回复 16# kuing

isee

回复 14# realnumber


    这个确实厉害 ，相当于接力3楼……