证明椭圆与直线交点唯一

走走看看

下面这道题，按常规方法，计算很复杂。
本人采用如下方法，不知是否可行。
请大师们赐教！

abababa

回复 1# 走走看看

其实就是求过椭圆上一点的切线方程，$l_1$就是那个切线，可以用求导的方法求。
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，两边求导得$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0$，斜率$y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$，代入点$P(x_0,y_0)$，过点$P$的斜率就是$-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$，再用点斜式就得出方程了。

kuing

大概看了下楼主的方法应该没问题。
求切线方程的方法很多，楼上的求导方法估计楼主一时半刻也反应不过来；不等式方法见 forum.php?mod=viewthread&tid=4927

zhcosin

再来个作弊的

走走看看

谢谢大师们！

走走看看

回复 5# 走走看看

昨天晚上，用常规方法做了几遍没有做出来。看一大堆字母头就昏了，没法进行下去。
今天上午，特意研究了一下。
得出如下的常规方法一，能够一气呵成，几分钟结束战斗。如果一开始就把分母去掉，就很难进行下去了。
第一楼的解法是 本人的解法二，切线方程是解法三。



现在发现，解法一，还有一个瑕疵。要考虑y0是否等于零。
这道题是 “圆锥曲线极点极线问题”的练习题，只是考虑到文科生不太会
复合函数求导，所以向文科学生推荐用常规方法解题。

wenku.baidu.com/view/068c428c89eb172ded63b7f7.html

走走看看

回复 3# kuing

不等式方法，很简便。

realnumber

4楼说成换元法就好了，x'=x/a,y'=y/a,
那么问题就是圆$x'^2+y'^2=1$与直线是否相切。其中某点在这个圆上.

zhcosin

还可以这样：先证明椭圆上某点处的切线，就是该点处焦点三角形的外角平分线，然后求出这个角平分线就可以了，只是这肯定不是考试的标准答案，这里只给出切线是焦点三角形的外角平分线的证明。

其妙

△=0不是等价于配成完全平方吗？所以，配一个完全平方就行了。所以，不用像楼主那样搞得那么复杂

走走看看

回复 10# 其妙


6楼是有点复杂，即使不把中间演算过程写上，在草稿上也要花费时间。不过，确实可以锻炼人。

请你再配一个吧！

其妙

回复 11# 走走看看
待一会儿再配，提示：三下五除二就配出来了，只是代码难写呀（虽然不过区区一行的代码，“县长”语）

kuing

回复 11# 走走看看

你记不记得这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=2368

其妙

回复 13# kuing
kk居然找出来一个帖子了！
不过我这次还有改进，配方比上面的帖子里的还要简单，即“县长”的一行法

走走看看

回复 13# kuing

忘了！不过相比于那道题，这道题得出一个一元二次方程难度大一点。

走走看看

回复 12# 其妙


一行，“一行白鹭上青天”，那好呀。有空时写出来，让我们大家见识一下您的一行。

zhcosin

参数方程也是一种思路嘛

走走看看

回复 17# zhcosin


    很好！

其妙

回复  其妙
一行，“一行白鹭上青天”，那好呀。有空时写出来，让我们大家见识一下您的一行。 ...
走走看看 发表于 2018-2-11 07:54

代码写，太麻烦，下面写得很详细，所以不止一行了，但是关键的配方却只有一行

走走看看

回复 19# 其妙

果真很妙！
我还以为在吹牛呢。