圆锥曲线的切线与光学性质总结帖

zhcosin

论坛上总是会出现关于圆锥曲线的切线与光学性质的帖子，为了避免重复性工作，开此帖把这方面的问题说个一清二楚。

此帖中，圆锥曲线都以标准方程出现。首先是切线的几何特征，结论是：椭圆上某点处的切线，是该点与两个焦点构成的焦点三角形在此点处的外角平分线，而双曲线则内角平分线，对于抛物线，是该点的焦半径与过该点平行于对称轴的直线所形成夹角的平分线。
相应的，圆锥曲线的光学性质是：从椭圆一个焦点发出的光线，经椭圆反射后经过另一个焦点，双曲线则是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点，而从抛物线一个焦点发出的光，经抛物线反射后，反射光线将平行于其对称轴。

这里只给出椭圆的切线几何特征与光学性质的证明:





注意：本文中的切线，都是按照直线与圆锥曲线只有一个公共点来定义的。

然后从坐标几何的角度，来讨论一下切线的方程，结论大家其实都是知道的，关键是证明，当然有了前面的几何特征，各种平分线都是可以直接求出的，所以切线方程也自然就有了，这算是第一个证明。

接下来给出第二个证明，是从不等式角度出发的证明





第三个证明，是从参数方程出发，只给出椭圆的，双曲线也是类似的


第四个证明，是利用坐标伸缩变换得来的



此外，求导求切线方程也是可以的，读者可自行完成。

至此，切线问题基本上已经清楚了，但是一个新的问题就来了，就是当点$P(x_0,y_0)$不在圆锥曲线上时，我们仍然可以写出那些直线的方程，不过，这时它们显然就不再是切线了，那是什么样的直线呢？这就引出极点与极线的问题来了，椭圆的相关讨论如下:

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我先占个楼，其实这些内容笔记中都有，只是散落在书中各处。