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Last edited by hbghlyj 2025-4-8 05:312013 湖北理第 10 题
已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2\left(x_1<x_2\right)$ ，则（）
A．$f\left(x_1\right)>0, f\left(x_2\right)>-\frac{1}{2}$
B．$f\left(x_1\right)<0, f\left(x_2\right)<-\frac{1}{2}$
C．$f\left(x_1\right)>0, f\left(x_2\right)<-\frac{1}{2}$
D．$f\left(x_1\right)<0, f\left(x_2\right)>-\frac{1}{2}$
正确答案是 D．
我是这样做的，不知问题出在哪？
解：$f^{\prime}(x)=\ln x-2 a x+1$ ，
依题意，$f^{\prime}(x)$ 应有有两个不同的零点，
$f^{\prime \prime}(x)=\frac{1-2 a x}{x}$ ，易得 $2 a>0$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2 a}\right)$ 上 $\nearrow$ ，在 $\left(\frac{1}{2 a},+\infty\right)$ 上 $\searrow$ ，故只需 $f^{\prime}\left(\frac{1}{2 a}\right)>0$ ，得 $\frac{1}{2 a}>1$ ，且 $x_1<\frac{1}{2 a}<x_2$ 。
又 $\ln x_1-2 a x_1+1=0, \ln x_2-2 a x_2+1=0$ ，得 $\ln x_1=2 a x_1-1, \ln x_2=2 a x_2-1$
于是 $f\left(x_1\right)=x_1\left(\ln x_1-a x_1\right)=x_1\left[\left(2 a x_1-1\right)-a x_1\right]=x_1\left(a x_1-1\right)$
因为 $a x_1<\frac{1}{2}$ ，所以 $f\left(x_1\right)<0$ ，
同理 $f\left(x_2\right)=x_1\left(a x_2-1\right)$ ，但是无法得到 $f\left(x_2\right)>-\frac{1}{2}$ ，
上述解法，对判断 $f\left(x_1\right)<0$ 没有问题，那为什么无法判断出 $f\left(x_2\right)>-\frac{1}{2}$ ？请高手指教！！ |
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kuing
posted 2013-7-6 22:59
其妙
posted 2013-7-7 20:32
