求助：小学五年级奥数48人班级问题

realnumber

有48名学生的一班级，其中27人会游泳，33人会骑车，40人会兵乓球，问三项都会的同学至少有几人？














标答是4.理由没怎么明白，虽然也试着画Ven图

乌贼

设三项都会的同学至少有n人有\[3n+2(48-n)\geqslant 27+33+40\]\[n\geqslant 4\]

realnumber

谢谢，虽然还是很不太明白。我是这样但想不下去
这样就得到以下混合组，以下字母都是自然数
$n+a+b+c+x+y+z\le 48$ , n+a+x+y=27,n+b+y+z=33,n+c+x+z=40

乌贼

余下的$48-n$人每人最多会2项

乌贼

不是组合题吧，这样改一下容易理解些：
    有48名幼儿园小朋友去园长那偷红、黄、篮三种颜色糖果，其中27人有红糖果，33人有黄糖果，40人有篮糖果，还没来得及吃就被老师没收了。问三种颜色糖果都拿的小朋友至少有几人？

realnumber

回复 4# 乌贼
恩，谢谢。我有些迟钝了，容我再考虑下，感觉你是对的

kuing

小奥最难了，俺也只会3#的方法
\begin{align*}
27+33+40&=3n+2(x+y+z)+a+b+c\\
&\leqslant n+2(n+x+y+z+a+b+c)\\
&\leqslant n+2\cdot 48
\end{align*}

kuing

乌贼有教小学数学的天份，连改题都改得这么生动俺是绝对想不出来的

其妙

题目：有48名学生的一班级，其中27人会游泳，33人会骑车，40人会兵乓球，问三项都会的同学至少有几人？
老师告诉我们，至少至多问题宜用反证法（反面思考问题）：
假设三项都会的同学至多有3人（我们把3项都会的称为全能王，即全能王至多有3人），那么非全能王至少有45人…………（*）
但是，我们知道有21人不会游泳，15人不会骑车，8人不会打乒乓球，于是最多会有21+15+8=44人一项或者2项都不会（即至多有44人非全能王），这与结论（*）矛盾（即44<45）。
你自然会问你怎么走起来就假设全能王至多有3人？以下是两种解释：
解释一：搞清楚上面这个套路以后（反面思考问题），下面设题目答案为n，假设三项都会的同学至多有n-1人（我们把3项都会的称为全能王，即全能王至多有n-1人），那么非全能王至少有49-n人…………（*）
但是，我们知道有21人不会游泳，15人不会骑车，8人不会打乒乓球，于是最多会有21+15+8=44人一项或者2项都不会（即至多有44人非全能王），为了与结论（*）矛盾，需要建立不等式44<49-n，于是n<5，故n的最大值为4，即：三项都会的同学至少有4人，然后再改用上面装逼的解法即可。
解释2：从小学的角度看，显然这样列式：48-（48-27）-（48-33）-（48-40）=4，但是解释起来，属于只可意会不好言传（如果用全能王和非全能王这两个个词汇理解要容易一些吧）

kuing

字数太多，自动略过……

走走看看

回复 9# 其妙

解释2，可以是：共计有21人不会游泳，15人不会骑车，8人不会打乒乓球，最坏情况，每个同学不会的项目不重复的话，最多会有44名同学会有一项不会，那么，至少有4人三项全会。
或者这样解释：有21人不会游泳，15人不会骑车，8人不会打乒乓球，至多有44人不是三项运动全会，即至少4人三项运动都会。

走走看看

回复 11# 走走看看

解释3，全体人员中27、33、40会某一项内容，题目求至少多少人三项全能，27是人数最少的，所以用27减去另两项不会的。因为有15人不会骑车，8人不会乒乓球，所以27-15-8=4，最小值就出来啦！

其妙

本题比较绕口的原因是没有设置好正面和反面。只要搞好正面和反面就好理解了。例如可用全能王和非全能王这两个词汇。
本题也改换一个说法：
某班有48名学生参加小学毕业考试，准备升入某民办初中，其中27人语文达到该校最低分数线，33人数学达到该校最低分数线，40人英语达到该校最低分数线，该校招生的标准是三科都达到最低分数线即可入读（不考虑总分上线），问该班的同学至少能考上某民办初中有几人？

其妙

回复 13# 其妙
对于上述题目，显然有人21人语文未达到该校最低分数线，15人数学未达到该校最低分数线，8人英语未达到该校最低分数线，于是，最大可能就是21+15+8=44人落榜于该民办初中，那么至少就有48-44=4人能考上该民办初中。
这就是从反面考虑问题。
顺便说一下，该班48人全部参加了该民办初中的考试（是重点初中名校哟）

realnumber

回复 8# kuing


    确实

走走看看

回复 14# 其妙


确实这样好理解些。

子小仙人

小学奥数中的容斥原理，用图形就可以解决

游客

x+y-s<=m,m+z-s<=n,即：n>=x+y+z-2s.
27+33-48=12，12+40-48=4，
至少12人前2项都会，至少4人3项都会。

三项都会的人要从前两项都会的人当中去找。