转发一个经典轮换不等式

wanhuihua

$$
\eqalign{
  &  {\cal 设}x,y,z{\cal 为}{\cal 正}{\cal 数}{\cal ，}x \geqslant y \geqslant z  \cr
  &  {\cal 求}{\cal 证}:  \cr
  &     \frac{{x^2 y}}
{z} + \frac{{y^2 z}}
{x} + \frac{{z^2 x}}
{y} \geqslant x^2  + y^2  + z^2  \cr}
$$

wanhuihua

测试Latex OK！！！！

色k

代码建议手打，机器转的码不好

走走看看

回复 1# wanhuihua


这道题像是用排序不等式证，但不知下面的证法是否正确。

$x≥y≥z$

$x^2≥y^2≥z^2$

$\frac{x}{x}≤ \frac{y}{y} ≤ \frac{z}{z}   反序$

$\frac{x}{z}≥ \frac{y}{y} ≥ \frac{z}{x}   正序$

$\frac{y}{z}  、\frac{z}{x}、  \frac{x}{y}   乱序$

$所以\frac{ x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}≥\frac{ x^2x}{x}+\frac{y^2y}{y}+\frac{z^2z}{z}=x^2+y^2+z^2$

看了撸题集，那里不是用 排序不等式。
如果用排序不等式，以上的证明是否正确呢？

kuing

见《撸题集》第 440 页题目 4.6.18

kuing

wanhuihua

回复 6# kuing

改了是好看点，技术要求高！关键是我的分式字母变小不好

wanhuihua

$$
\eqalign{
  &  {\cal 设}x,y,z{\cal 为}{\cal 正}{\cal 数}{\cal ，}x \geqslant y \geqslant z  \cr
  &  {\cal 求}{\cal 证}:  \cr
  &     \frac{{x^2 y}}
{z} + \frac{{y^2 z}}
{x} + \frac{{z^2 x}}
{y} \geqslant x^2  + y^2  + z^2   \cr
  & {\cal 证}{\cal 明}{\cal ：}  {\cal 记}x{\text{ = }}y + a,y = z + b  \cr
  & {\cal 上}{\cal 式} \Leftrightarrow \frac{{x^2 b}}
{z} + \frac{{z^2 a}}
{y} \geqslant \frac{{y^2 }}
{x}(a + b) \Leftrightarrow (\frac{{x^2 }}
{z} - \frac{{y^2 }}
{z} + \frac{{y^2 }}
{z} - \frac{{y^2 }}
{x})b \geqslant (\frac{{y^2  - z^2 }}
{x} + \frac{{z^2 }}
{x} - \frac{{z^2 }}
{y})a  \cr
  &  \Leftrightarrow \frac{{ab}}
{z}(x + y) + y^2 b(\frac{{a + b}}
{{xz}}) \geqslant \frac{{ab}}
{x}(y + z) - \frac{{a^2 }}
{{xy}}z^2 ,{\cal 左}{\cal 边} \geqslant {\text{2}}ab,{\cal 右}{\cal 边} \leqslant 2ab,{\cal 显}{\cal 然}{\cal 。} \cr}
$$

这个格式还可以吧

kuing

回复 8# wanhuihua

还是建议参考置顶帖来输入公式。