来自人教群的求折痕最短(违背直觉的最小)

isee

@粤B学生86鱼

容易猜到结果，如何求似乎是高中题了。

文字：直角三角形ABC中，角B为直角，AB>BC,如图，将角A的顶点A折叠到BC边上，若两直角边长分别为3，4，求折痕EF最小值。

青青子衿

不妨设\(\angle DAE=\theta\)，则\(\angle DAF=\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)-\theta\)，故
\[\tan\angle DAE=\tan\angle DAG=\frac{DE}{AD}=\frac{DG}{AG}\Longrightarrow\tan\theta=\dfrac{p}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{2}\]
\[\tan\angle DAF=\frac{DF}{AD}\Longrightarrow\tan\left[\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)-\theta\right]=\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}\\\frac{\tan\left(\arctan\dfrac{3}{4}\right)-\tan\theta}{1+\tan\left(\arctan\dfrac{3}{4}\right)\tan\theta}=\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}\Longrightarrow\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{x}{2}}{1+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{x}{2}}=\frac{6-4x}{8+3x}\]
从而得到：\[\begin{cases}
\dfrac{p}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{2}\\
\dfrac{q}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{6-4x}{8+3x}
\end{cases}\Longrightarrow
\begin{cases}
p=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+4}\\
q=\left(\dfrac{6-4x}{8+3x}\right)\sqrt{x^2+4}
\end{cases}\]
\[|EF|=|DE|+|DF|=p+q=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{6-4x}{8+3x}\right)\sqrt{x^2+4}=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{50}{3(3x+8)}-\dfrac{4}{3}\right]\sqrt{x^2+4}
\]

isee

回复 2# 青青子衿


    这么说不是A'与B重合的时候了？

kuing

来玩玩速度分解。

首先易知直线 $EF$ 恒与以 $A$ 为焦点 $BC$ 为准线的抛物线相切（见《撸题集》第 50 页题目 1.2.3），设切点为 $P$，作 $AH\perp EF$ 于 $H$，现在让 $P$ 沿抛物线向右运动，则直线 $EF$ 存在绕 $P$ 逆时针转动的角速度，然后作出 $E$, $F$ 的速度及其分解，如下图所示。



那么，当 $EF$ 取最小值时，必然是当 $v_{Ex}=v_{Fx}$ 时，而
\[\frac {v_{Ex}}{v_{Fx}}=\frac {v_{Ey}\cot \angle AEF}{v_{Fy}\cot \angle AFE}=\frac {PE\cot \angle AEF}{PF\cot \angle AFE}=\frac {PE}{PF}\cdot \frac {HE}{HF},\]
可见
\[v_{Ex}=v_{Fx}\iff\frac {PE}{PF}=\frac {HF}{HE}\iff EH=PF,\]
由 $H$ 为 $AA'$ 中点且 $PA'\perp BC$ 可知 $EH=HP$，所以
\[v_{Ex}=v_{Fx}\iff EH=HP=PF,\]
也就是说取最小值时 $H$, $P$ 是 $EF$ 的三等分点。

不过似乎对计算并没什么帮助……

青青子衿

回复 3# isee

回复  青青子衿
    这么说不是A'与B重合的时候了？
isee 发表于 2018-3-1 16:28

当\(|DG|=\sqrt{6}-2\)时，折痕\(EF\)的长度取最小值\({\color{red}{|EF|=12\sqrt{2}-9\sqrt{3}}}\)

kuing

回复 5# 青青子衿


这结果符合我那结论，应该是对的

isee

来玩玩速度分解。

首先易知直线 $EF$ 恒与以 $A$ 为焦点 $BC$ 为准线的抛物线相切（见《撸题集》第 50 页 ...
kuing 发表于 2018-3-1 17:01

这种题，速度分解还真强。不知等价的数学方法如何。

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“不过似乎对计算并没什么帮助……”

原来，还没搞完啊。。。。。

kuing

回复 7# isee

更新了一下，下午竟然没想起还有 $EH=HP$，也就是取最小值时那两个是三等分点，结论就更好看了，可惜于计算还是没什么卵用。

kuing

回复 8# kuing

噢，其实还是有点用的。

一般地，设 $\angle BAC=\alpha$, $\angle BAA'=\theta$，则
\[\frac{HE}{HF}=\frac{\tan\theta}{\tan(\alpha-\theta)},\]
根据 4# 的结论，取最小值时有
\[2EH=HF\iff2\tan\theta=\tan(\alpha-\theta)
=\frac{\tan\alpha-\tan\theta}{1+\tan\alpha\tan\theta},\]
解之得
\[\tan\theta=\frac{-3+\sqrt{8\tan^2\alpha+9}}{4\tan\alpha}.\]

对于原题，$\tan\alpha=3/4$，代入得到
\[\tan\theta=-1+\sqrt{\frac32},\]
那么
\[EF=3EH=3AH\tan\theta=\frac{3AB\tan\theta}{2\cos\theta}=\frac32AB\tan\theta\sqrt{\tan^2\theta+1},\]
将 $AB=4$ 及 $\tan\theta$ 的值代入化简后就是 $EF=12\sqrt2-9\sqrt3$。

kuing

话说最后的数据化简本来是有重根号的，恰好能化简开来，不知是运气好还是楼主的数据是设计过的？

isee

回复 2# 青青子衿

原后求导？

isee

来玩玩速度分解。

首先易知直线 $EF$ 恒与以 $A$ 为焦点 $BC$ 为准线的抛物线相切（见《撸题集》第 50 页 ...
kuing 发表于 2018-3-1 17:01

匀速圆周运动中$v=r\omega$已然忘记了。

isee

回复  kuing

噢，其实还是有点用的。

一般地，设 $\angle BAC=\alpha$, $\angle BAA'=\theta$，则
\[\fr ...
kuing 发表于 2018-3-1 23:40

这个求解过程，与 2# 青青子衿 本质上说是相同的，不过，三等分点将我不知道2#如何求出最小值的却给破了。

不过，对4#中 取最小时，两分速相等有些不理解，物理真是忘记完了。

其妙

这里也有一道折痕题目的最小值（不过太简单了）

hbghlyj

geogebra.org/material/show/id/qprh5t8a

hbghlyj

GeoGebra官网资源大多只能下载.pdf不能下载.ggb文件