二元条件最值

aaa

已知 $a>1,b>2$，则 $\dfrac{(a+b)^2}{\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-4}}$ 的最小值，应该如何做呢？

其妙

回复 1# aaa
先柯西不等式，再均值不等式

aaa

回复 2# 其妙


    请问怎么用柯西？谢谢

kuing

回复 3# aaa

换个元，变成求
\[\frac {\bigl( \sqrt {x^2+1}+\sqrt {y^2+4} \bigr)^2}{x+y}\]
的最小值，这样看，你就会了吧？

aaa

回复 4# kuing


    谢谢，会了

敬畏数学

设$ x=\sqrt{a^2-1},y=\sqrt{a^2-4} $

$ \geqslant \frac{(x+1+y+2)^2}{2(x+y)}=\frac{(x+y+3)^2}{2(x+y)}=\frac{(x+y)^2+6(x+y)+9}{2(x+y)}=\frac{x+y}{2} +\frac{9}{2(x+y)}+3\geqslant 2\sqrt{\frac{9}{4}}+3=6$

等号成立，x=1,y=3,即：$ a=\sqrt{2},b=2\sqrt{2}
$

其妙

还可考虑用切线法做