数学节快乐！积为1的不等式证明

力工

同条件两不等式：已知正数$a,b,c,abc=1$，证明：
(1)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant a+b+c$；
(2)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}$.

kuing

很简单啊，作代换 $a=y/x$, $b=z/y$, $c=x/z$，则：

（1）显然成立；

（2）等价于
\[x^3+y^3+z^3\geqslant\sqrt{3(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)},\]
两边平方即
\[\sum x^6+2\sum x^3y^3\geqslant3\sum x^4y^2,\]
而由均值恰好有 $x^6+x^3y^3+x^3y^3\geqslant3x^4y^2$，即得证。

力工

回复 2# kuing
kuing果然神！一眼看破代换来的。

游客

是不是非齐次的都先考虑用代换齐次化？