一个向量的分解定系数问题

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在数学解题之路QQ群看到如下一个题目，由陕西李世杰提供:

如上图所示，点 $A$ 关于 $O B$ 所在直线的对称点为 $A'$．设 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}$，根据你所学的平面向量知识，试用向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{O A'}$。
题目虽然简单，但要用纯向量方法才好玩。
设$\vv{OA}=\vv{a},\vv{OB}=\vv{b},\vv{OA'}=\vv{c}$，那么由条件可知
\[ |\vv{a}|=|\vv{c}|, \  (\vv{a}-\vv{c}) \cdot \vv{b}=0 \]
而且存在唯一实数$\lambda$，使得
\[ \vv{a}+\vv{c}=\lambda \vv{b} \]
显然，只要确定出$\lambda$，就得到了$\vv{c}$的分解式，为此将上式两边与$\vv{b}$作内积得
\[ \vv{b} \cdot (\vv{a}+\vv{c})=\lambda \vv{b}^2 \]
而前面已经知道$\vv{a} \cdot \vv{b}=\vv{c} \cdot \vv{b}$，因此由上式知
\[ \lambda = \frac{2(\vv{a} \cdot \vv{b})}{\vv{b}^2} \]
于是得
\[ \vv{c} = \frac{2(\vv{a} \cdot \vv{b})}{\vv{b}^2} \vv{b} - \vv{a} \]

游客

记 $A A'$ 与 $O B$ 的交点为 $P$，则 $\overrightarrow{O P}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \cdot \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{\vec{a}+OA'}{2}$其中 $\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 是与 $\vec{b}$ 同向的单位向量， $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影。