一个数列问题

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题目: 已知数列$\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}$，$a_{n+1}=\mathrm{e}^{a_n-1}(n \in \mathbb{N}_*)$，其中$\mathrm{e}$是自然对数的底数.
(1) 证明: $a_{n+1}>a_n(n \in \mathbb{N}^{*})$
(2) 设$b_n=1-a_n$，是否存在实数$M>0$，使得$b_1+b_2+\cdots+b_n \leqslant M$对任意$n \in \mathbb{N}^{*}$成立？若存在，求出$M$的一个值；若不存在，请说明理由.

解答:
(1) 略.
(2) 因为$b_1=\frac{1}{2}$，递推式
\[ b_{n+1}=1-\mathrm{e}^{-b_n} \]
由不等式
\[ \mathrm{e}^x \geqslant 1+x \]
得(注意$b_n$恒正，所以没有等号了)
\[ b_{n+1}>1-\frac{1}{1+b_n} \]
利用这个不等式，归纳法即可证明
\[ b_n \geqslant \frac{1}{n+1} \]
剩下的调和级数就没有人不会了吧，不会就翻竞赛书。

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