若$ax+\ln x+1\leqslant xe^{2x}$恒成立，求实数$a$的范围

isee

2018年广州高三理科一调压轴（3月），个人觉得有些难“整”。

题（主干）：若$\forall x>0,ax+\ln x+1\leqslant xe^{2x}$恒成立，求实数$a$的取值范围.

kuing

key: $xe^{2x}=e^{\ln x+2x}\geqslant \ln x+2x+1$

isee

以下过程，源于网上非标签的作答，解答者不明。

\begin{align*}
\forall x>0,ax+\ln x+1&\leqslant xe^{2x}\\
\iff a &\leqslant \frac{xe^{2x}-\ln x-1}{x}\\
\frac{xe^{2x}-\ln x-1}{x}&=\frac{e^{2x+\ln x}-\ln x-1}{x}\\
&\geqslant \frac{2x+\ln x+1-\ln x-1}{x}\\
&=2
\end{align*}

isee

key: $xe^{2x}=e^{\ln x+2x}\geqslant \ln x+2x+1$
kuing 发表于 2018-3-22 16:01

唉，神key，更是神k

英雄果然就是英雄，所见一样

kuing

回复 4# isee

抄来的罢了，$xe^{XX}=e^{\ln x+XX}$ 这种处理方式以前见过一两次，就记住了

isee

回复  isee

抄来的罢了，$xe^{XX}=e^{\ln x+XX}$ 这种处理方式以前见过一两次，就记住了 ...
kuing 发表于 2018-3-22 16:16

初见，我估计这种混合$e^x,\ln x$印象深刻得足以记住了

敬畏数学

forum.php?mod=viewthread&tid=4561&highlight=

敬畏数学

貌似借用2017年XX市第二次考试一小题。

isee

以下过程，源于网上非标签的作答，解答者不明。

\begin{align*}
\forall x>0,ax+\ln x+1&\leqslant xe^{2x ...
isee 发表于 2018-3-22 16:11

来看看标答，还有几种。。。
==========

第一问是讨论左边函数的零点。

敬畏数学

回复 9# isee
哇撒，这么麻烦啊！厉害。。。。

realnumber

这套路，，
下次再改个系数$x^3e^{2x}=$

敬畏数学

前面注意啦！最近XX市又出现此题，而且自认为还是很硬的题。哈哈，我说能否长点记忆力，经常这样不好吧。

kuing

这套路，，
下次再改个系数$x^3e^{2x}=$
realnumber 发表于 2018-4-2 23:10

刚才群里的，三次方，还在分母呢：

鄂A**蓝 2020/3/8 13:52:49

有朋友看看吗？刚考的试卷
粤A****巡 2020/3/8 14:29:19

阅A****k 2020/3/8 14:43:38
[笑哭]这个“观察到”真腻害了
阅A****k 2020/3/8 14:53:47
套路解法应该是这样操作：
\[\frac{e^x}{x^3}-x-a\ln x=e^{x-3\ln x}-x-a\ln x\geqslant1+x-3\ln x-x-a\ln x=1-(3+a)\ln x,\]所以 `a\leqslant-3`。