一道平几题（矩形四面积相等证平行四边形）

v6mm131

在矩形 $A B C D$ 中，点 $M, ~ N, ~ P, ~ Q$ 分别在边 $A B, ~ B C, ~ C D, ~ D A$ 上，使得 $S_{\triangle A Q M}=S_{\triangle B N N}=S_{\triangle C M P}=S_{\triangle D P Q}$，求证：四边形 $M N P Q$ 是平行四边形．

kuing

设 $AM:AB=x$, $BN:BC=y$, $CP:CD=z$, $DQ:DA=w$，则条件等价于
\[(1-w)x=(1-x)y=(1-y)z=(1-z)w,\]
设此连等式的值为 $t$，则
\[\frac tx+\frac t{1-z}=1-w+w=1,\]
同理有
\[\frac tz+\frac t{1-x}=1,\]
由此可得
\[\frac1x-\frac1{1-x}=\frac1z-\frac1{1-z},\]
去分母因式分解为
\[(x-z)\bigl((1-x)(1-z)+xz\bigr)=0,\]
由于 $x$, $z\in(0,1)$，可见只能是 $x=z$，同理 $y=w$，代回连等式中还可以得出 $z=w$，因此 $x=y=z=w$。

isee

回复 2# kuing

我看到这个题特别想向MP与QN的中点重合方向上看，当然是否可行，还不知，哈哈

isee

回复  kuing

我看到这个题特别想向MP与QN的中点重合方向上看，当然是否可行，还不知，哈哈 ...
isee 发表于 2018-3-24 00:16

想了下，用同一法。

显然MQPN是平行四边形符合题设。
如果MQPN不是平行四边形，则作平行四边形MQP'N'，其中，P'在CD上，N'在BC上.
由四个三角形的面积相等，可先证得P'与P重合，进一步得N'与N重合。

kuing

回复 4# isee

平行四边形不一定符合题设，还需要那四个比例都相等。

isee

回复 5# kuing


把四个三角形面积相等当成条件了，相当于代数里的分类讨论，是有点不自然。。

游客

不妨令 $BM \geqslant CP$ ，则：
\[
BN \leqslant CN, \quad AM \leqslant DP, \quad AQ \geqslant DQ,\quad DQ \leqslant \frac{BC}{2} \leqslant CN .
\]
（等号同时取到，此时四点均为中点，图略．）
若 $E N>G Q$，则$M H<F P, S_{\triangle M G Q}<S_{\triangle P E N}$．
若 $E N<G Q$，则$M H>F P, S_{\triangle M G Q}>S_{\triangle P E N}$．
\[
\Rightarrow EN=GQ, MH=FP
\]