一道中考几何综合

wzyl1860

△ABC中, AB = AC,∠BAC = 120°,D为AC中点,E为 BC延长线上一点,且$DC =\frac{2\sqrt3}3 CE$
(1)将折线 DCE绕着点C旋转至如图1的位置,连接BE,F为BE上一点,且EF:BF=1:2, 连接AD、CF,求证 $AD =\sqrt3 CF$
(2)在(1)的条件下,若点F正好落在AC上,AD交BC于点G,如图2,求证:$AB = \sqrt3 CG$

isee

wzyl1860 发表于 2018-3-24 22:02

想了下，还真不知道辅助线怎么添，汗。

不过，最直接的方法，不过建坐标系了。

若以C为坐标原点，BC所在的直线为x轴，设$CE=\sqrt 3$则$AC=2CD=4$.

容易写出$A(-2\sqrt 3,2)$，$B(-4\sqrt 3,0)$.

设$E(\sqrt 3\cos \theta,\sqrt 3\sin\theta),D(2\cos(\theta+150^\circ),\sin(\theta+150^\circ))$.

F是BE的三等分点且靠近E点，可得$F((2\sqrt 3\cos\theta-4\sqrt 3)/3,(2\sqrt 3\sin\theta)/3)$，计算便知结论成立。

那第(2)问亦只是计算而已.

乌贼

回复 3# isee

(1)设$ AC=1 $，有$ BC=\sqrt{3} $。延长$ AC $至$ P $且$ CP=2AC $，连接$ DP $，有\[ \angle BCE=\angle PCD \]\[ \dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]所以$ \triangle BCE\sim \triangle PCD $，有\[ \angle DPC=\angle EBC \]\[ \dfrac{PD}{BE}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]又\[ \dfrac{AP}{CB}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{PD}{BF}=\dfrac{PD}{\dfrac{2}{3}BE}=\sqrt{3} \]故$ \triangle BCF\sim \triangle PAD $有\[ \dfrac{AD}{CF}=\sqrt{3} \]
(2)由(1)知\[ \angle GAC=\angle BCF=30\du  \]下略

isee

回复 4# 乌贼


F点为三等份点偏E，仅作比例代换，辅助线不错

游客

代数、向量、三角、几何，应该都可以吧？

比如：延长DC到M，使得CM=DC/2，连结AM，
在线段AM上取点N，使得AN=2NM，连结CN。

isee

回复 6# 游客

一针见血。


如果不限制在初中（中考范围），这个问题代数、向量、三角、几何都是平凡的。

只是纯几何下的辅助线我个人卡住了来。