初一数学，几道小题(例二在帖子：小学奥数里）

子小仙人

例一：我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这两个自然数称为”智慧数”，如16=5^{2}-3^{2}，则16称为智慧数。
请判断：在自然数列中，从1数起，第2000个智慧数是哪个数？

（初次发帖，多多关照 ）

子小仙人

$16=5^{2}-3^{2}$

子小仙人

1. $16=5^{2}-3^{2}$

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战巡

回复 1# 子小仙人

对于任意奇自然数$k$，可令自然数$a=\frac{k+1}{2}, b=\frac{k-1}{2}$，使得
\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)=k·1=k\]
故任意奇自然数均满足条件

对偶自然数$k$，显然若要有$a^2-b^2=k$，必须有$a,b$同奇偶性，若$a,b$同偶，有$a^2-b^2 \mod 4=0$，若$a,b$同奇，仍然有
\[a^2-b^2=(2p+1)^2-(2q+1)^2=4(p+q+1)(p-q) \mod 4=0\]
故必然有$k \mod 4=0$
而对于任意$k \mod 4=0$，令$a=\frac{k}{4}+1, b=\frac{k}{4}-1$，即可满足条件，故任意$k \mod 4=0$均满足条件

剩下楼主自己搞定吧

realnumber

4也要去掉

子小仙人

水平有限，战巡的过程俺没看懂，不过隐隐约约的看出一点与俺相同之处。总结几点发现：
1、奇数总是可以看成智慧数（除1外）
2、4的倍数是智慧数（除4外）
3、除以4余2的数不是智慧数
即：                   2k+1(除1外）     满足条件
                         4k（除4外）       满足条件
                         4k+2              不满足条件
过程：          \[奇数：2^{k+1}=k+1^{2}-k^{2}
                                     =k^{2}+2k+1-k^{2}
                                     =2k+1\]
                   \[偶数：4k=k+1^{2}-k-1^{2}
                              =k^{2}+2k+1-k^{2}+2k-1
                              =4k\]
可总结为：
                     在4个数中，有3个数满足条件，有1个不满足条件。
                   （前4个数中只有1个数满足条件）
可得：       \[\frac{200}{3}=666……2
                  666x4=2664\]
结果即为2669

kuing

回复 6# 子小仙人

打代码不用点那个代码按钮，像你2楼那样打就行了

子小仙人

回复 7# kuing
哦，好的：）

isee

水平有限，战巡的过程俺没看懂，不过隐隐约约的看出一点与俺相同之处。总结几点发现：
1、奇数总是可以看成 ...
子小仙人 发表于 2018-3-30 22:11

这个排版真是辛苦了，不过，排版方式却不推荐，纯手工。。。。

子小仙人

回复 9# isee
呵呵。初来乍到，还要学习啊！