小学奥数（3月31日）

子小仙人

有一堆桃子，平均分成四堆，多一个。拿走一个和一堆。又把剩下的桃子平均分成四堆，多一个。拿走一个和一堆。如此共四次。问：原来至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？

zhcosin

小学生不应该把时间浪费在这种题目上，事实上，恐怕也没有几个小学生有耐心把这个题目的题意搞明白。

realnumber

倒推吧，方程学过了吗？还有分数？

abababa

设总共有$x$个，每次取走的数量分别是$k_1,k_2,k_3,k_4$个（包括取走的一堆，但不包括多出的那一个），则
\begin{cases}
x-1=4k_1\\
(4-1)k_1-1=4k_2\\
(4-1)k_2-1=4k_3\\
(4-1)k_3-1=4k_4
\end{cases}
把后三个方程两边各加$4$，之后再乘起来，可以得到$(4-1)^{4-1}(k_1+1)=4^{4-1}k_4$，因为$4 \nmid 4-1$，所以必须有$k_1+1=4^{4-1}m$，其中$m$是正整数。再代回方程一就得到$x=1+4(-1+4^{4-1}m)$，其中$m$最小是$1$，所以$x$最小是$253$。对任意的$n$次取走，都有初始的最小数为$x=1+n(-1+n^{n-1})=n^n-n+1$，只要代入$n$就可以。

zhcosin

小学奥数的套路不都是这样的吗: 请证明费马大定理，要求只用小学知识。

敬畏数学

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确实套路深奥。

isee

回复 5# zhcosin


所以，专门有讨论用方程解小学奥数的书或者论文。。。

游客

我没看懂“如此共4次”的意思，你们看懂了？

TSC999

我对小学奥数的看法—— 没必要花银子去上什么名师的课外班；不喜欢数学或是没有数学天分的小朋友就不要学了；有数学才能的、有兴趣的小朋友，有时间自己上网随便看看就可以了。

zhcosin

回复 9# TSC999
小学奥数其实根本不是数学，而是脑筋急转弯之类，要么就是那种按规律填数字之类，命题人按自己的规律出题，别人按别人的规律填就是错的，只有命题人自己的规律才是对的，这算哪门子的数学？所以说小学奥数不但不是数学，反而会让小学生觉得数学就是不可捉摸的事物，不是靠自己理解而是靠出题人瞎说，从而对数学产生疏离感，这才是最可怕的。所以这种小学奥数老师就该拉出去枪毙，误人害国。

realnumber

原有桃子x个，等分成4堆，会多一个，余下3堆和等分4堆，还是多一个，...
额外加3个，可以等分成4新堆（新一堆个数比老堆多一个桃子），
余下3新堆等分4堆，即为3老堆加3个和等分4堆，......
第一次取走(x+3)÷4个，留下(x+3)÷4×3个
第二次取走(x+3)÷4×3÷4个,留下(x+3)÷4×3÷4×3个
.......
又4和3最大公因数是1，所以(x+3)可以被$4^4$整除，最小就是x+3=256,
x=253