數列不等式a(m+1)=a(m)/m+m/a(m)

tommywong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11841

$\displaystyle a_1=1,a_{m+1}=\frac{a_m}{m}+\frac{m}{a_m},\text{證明}\sqrt{2017}<a_{2017}<\frac{2017}{\sqrt{2016}}$

zhcosin

回复 1# tommywong
没难度，用数学归纳法证明下式即可:
\[ \sqrt{n} <a_{n} < \sqrt{n-1}+\frac{1}{\sqrt{n-1}} \]

tommywong

回复 2# zhcosin

$\displaystyle \sqrt{m}<a_m<\frac{m}{\sqrt{m-1}}?$

$\displaystyle \sqrt{m+1}>\frac{1}{\sqrt{m}}+\sqrt{m-1}<\frac{a_m}{m}+\frac{m}{a_m}<\frac{1}{\sqrt{m-1}}+\sqrt{m}>\frac{m+1}{\sqrt{m}}$

zhcosin

tommywong

谢谢楼上 zhcosin 的解答。我已将帖子转贴到“数学中国论坛”，然后再让陆老师转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

zhcosin

回复 5# tommywong

一个题目而已，搞这么大阵仗干啥，又不是xx大定理。

其妙

回复  tommywong

一个题目而已，搞这么大阵仗干啥，又不是xx大定理。
zhcosin 发表于 2018-4-4 08:08

这次和扎克风度相似