就好奇会有几个解

realnumber

当$0\le x <2$时，$f(x)=(2-[x])\abs{x-1}$,其中[x]是取整函数，即表示不超过x的最大整数；又f(2)=1.
定义$f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f_1(x)),...,f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$.
原题仅仅是判断命题：$f_{12}(x)=x,x\in [0,2]$至少有8个不同的解.
我的问题是，会有m个不同的解，m大概怎么样？
0,1,2,1/3,2/3 ，1/5,2/5,3/5,4/5,6/5,都是解，？/12，？/9也有几个，估计?/6应该也会有

kuing

简直多到吓死人

kuing

列出 $f_1(x)$ 到 $f_8(x)$ 来看，线段的条数满足肥波拉鸡数列，但又不是每条线段都和 $y=x$ 香蕉……

realnumber

线段的条数满足肥波拉鸡数列,真意外，很神奇，怎么想明白这个？
从图像看大概，高度2的“山峰”与y=x有2个交点，
高度1的，在x=1左侧的有2个，右侧没有，
从几个图看，x=1左侧的峰多余右侧
半个峰的似乎也有规律，也就是说，解的个数也许也有规律

游客

f(2)=1,f(1)=0,f(0)=2.
0~1和1~2都是单调。
这样，由第一个图可以一直变下去。

realnumber

记数列${a_n}，{b_n},{c_n},{d_n},{e_n}$分别为$f_n(x)$在[0,2]的单调区间个数，值域为[0,2]的单调区间个数，值域为[0,1]的单调区间个数，定义域在[1,2]上值域为[0,2]的单调区间个数，定义域在[1,2]上值域为[0,1]的单调区间个数，那么这些数列都是斐波那契数列.
1楼的问题解有233+89=322个

kuing

回复 6# realnumber

realnumber

记$f_n(x)$在[0,2]的单调区间个数${a_n} $，在[0,1]的单调区间个数${b_n} $，在[1,2]的单调区间个数${c_n} $，定义域在[1,2]上值域为[0,2]的单调区间个数$d_n$，定义域在[1,2]上值域为[0,1]的单调区间个数$e_n$，那么这些数列都是斐波那契数列.

1楼的问题解有$b_{12}+d_{12}=233+89=322$个(一般情景$f_n(x)=x$的解的个数是$b_{n}+d_{n}$)
这些区间具有如下形式，化简后是[$\frac{a}{2^m},\frac{b}{2^n}$],a，b，m，n 都是自然数.线段所在的直线方程系数可以都是有理数，这样322个解的话都是有理数.
这322个解，化简后，分母最小是1了，分母最大是多少？还能用哪些角度去描述？

isee

这题要人命啊。。。。。

有没有可能引用三角代换之类的，一个分段的定义域名总在[0,1],值域总是在[0,2]

或不动点，产生简单的迭代？

楼上图上交点个数，猜测规律为$$1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322$$
在临场上，第5个图已经很难画了，难度还是大