求$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}$最大值

tommywong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=2&Id=11747&page=3

a,b,c為正數，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$

求$\displaystyle \frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2}$的最大值

kuing

有点弱啊，首先当 $a=b=c=1$ 时原式等于 $3/16$，下面证明
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \frac 3{16},\]
条件去分母为 $ab+bc+ca=abc(a+b+c)$，所以上式齐次化即证
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \frac 3{16}\cdot \frac {ab+bc+ca}{abc(a+b+c)},\]
由均值有
\[\sum\frac 1{(2a+b+c)^2}\leqslant \sum\frac 1{4(a+b)(a+c)}=\frac {a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)},\]
由 $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)$ 有
\[\frac 3{16}\cdot \frac {ab+bc+ca}{abc(a+b+c)}\geqslant \frac 9{16(ab+bc+ca)},\]
故此只需证
\[\frac {a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac 9{16(ab+bc+ca)},\]
即
\[8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leqslant 9(a+b)(b+c)(c+a),\]
这是熟知的，所以最大值就是 $3/16$。

几下放缩都很随意，可见不等式较弱。

tommywong

果然不等式还是要交给渣k！我已将帖子转贴到“数学中国论坛”，然后再让陆老师转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

kuing

回复 3# tommywong

你觉不觉得那帖里的解答有问题？

tommywong

回复 4# kuing

是有问题的