几何很浓的向量高三一调填空题:$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}$

isee

福州2018年3月高三理科一调第16题（有答案，可自查）

kuing

然而并没什么几何的东西在里面，只是考你对向量坐标的理解。

为了更易理解，把图形这样放：

那么，在以 $\vv{BA}$, $\vv{BC}$ 为基底建立的坐标系中，直线 `AC` 的方程就是 `x+y=1`，即 `y=-x+1`，
而由 `\angle DCA=2\angle BAC` 可知 `CD` 与 `AC` 的斜率相反，因此直线 `CD` 的方程就是 `y=x+1`，即 `x-y=-1`，
所以答案就是 `-1`。

其妙

回复 2# kuing
但我理解了isee的几何方法，等量延长CB至E，再延长AE、DB交于F，利用垂直条件和2倍角，立得AEF//DC，于是BD=BF，立得$x-y=-1$

isee

回复 2# kuing


最好，$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$，当然，浪费掉好的题的方法，是抢时间的，推荐的

isee

回复  kuing
但我理解了isee的几何方法，等量延长CB至E，再延长AE、DB交于F，利用垂直条件和2倍角，立得AE ...
其妙 发表于 2018-4-14 01:51

啧，浓浓几何味

色k

回复  kuing

最好，$AC$的斜率改为$-\tan \alpha$，当然，浪费掉好的题的方法，是抢时间的，推荐的 ...
isee 发表于 2018-4-14 09:16

nonono，斜率就是 `-1`，因为我那基底是 $\vv{BA}$, $\vv{BC}$，而不是单位向量

isee

回复 6# 色k

哎，服了服了。。。。。外星人，k

敬畏数学

回复 3# 其妙

敬畏数学

当然可以将直线看作斜率-1，另外自然位1了，特殊值玩玩就行了，没有必要伤脑筋，偷偷懒懒。

isee

回复  kuing
但我理解了isee的几何方法，等量延长CB至E，再延长AE、DB交于F，利用垂直条件和2倍角，立得AE ...
其妙 发表于 2018-4-14 01:51

还能更简些（好像是标答给的）。

延长AB，DC相交于点M，则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
&=-x\vv{BM}+y\vv{BC}\\
\therefore -x+y&=1
\end{align*}

kuing

当然可以将直线看作斜率-1，另外自然位1了，特殊值玩玩就行了，没有必要伤脑筋，偷偷懒懒。 ...
敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28

不是“看作”，是真的是-1，见6#的解释，这并不是玩特殊值，我从不玩特殊值。唉

其妙

当然可以将直线看作斜率-1，另外自然位1了，特殊值玩玩就行了，没有必要伤脑筋，偷偷懒懒。 ...
敬畏数学 发表于 2018-4-14 14:28

人家“酷淫”早在2楼就已经说了“”然而……，只是考你对向量坐标的理解。”，只要你理解了向量坐标就是“基向量的系数”就可以啦，从而得到点在基向量下的坐标（可能不是正交坐标系下的坐标，所谓正交指的是既垂直又是单位向量的两个向量作为基底，此时的斜率$k$就是$k=\tan\alpha$，如果不是垂直或者不是单位向量，那么斜率$k\neq\tan\alpha$），直线的方程$y
=kx+b$的$k$叫“斜率”是应当加引号的（是广义的斜率了，不是平常的狭义的斜率了）

其妙

还能更简些（好像是标答给的）。

延长AB，DC相交于点M，则
\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC} ...
isee 发表于 2018-4-14 14:38

两种辅助线方法本质上是一样的，都是构造等腰三角形的三线合一，此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直和2倍角条件”。基本上是一样的思维量和计算量

isee

两种辅助线方法本质上是一样的，都是构造等腰三角形的三线合一，此时两种辅助线方法都成功的利用了“垂直 ...
其妙 发表于 2018-4-14 15:51

扯，辅助线少多了。不听你说的

敬畏数学

回复 12# 其妙
你说得这些显然。但是直线方程这套东西？

游客

仿射坐标下的直线方程其实就是三点共线的那个结论：m+n=1.
要延长就延长AB和DC好了.

isee

只能说，论坛里的朋友水准真的很高，不仅秒了，且看透了问题的实际。


考场硬算。

另解

$$\vv {BD}=x\vv{BA}+y\vv{BC}\iff \vv {CD}=x\vv{BA}+(y-1)\vv{BC}.$$
两边分别点乘$\vv{BA},\vv{BC}$可得到
$$\left\{\begin{aligned} \vv{CD}\cdot {BA}=xBA^2,\\\vv{CD}\cdot \vv{BC}=(y-1)BC^2 \end{aligned}\right.$$

设$\angle ACB=\alpha$，则$\angle ACD=\pi-\alpha$，方便书写，记$BC=a,AB=c,\frac{CD}{AC}=m$，
$$\left\{\begin{aligned} x=CD\sin\alpha=m,\\y=m+1\end{aligned}\right.\Rightarrow x-y=-1.$$

isee

另另解

将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$，由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align*}
\vv {BD}&=x\vv{BA}+y\vv{BC}\\
\vv {CD}&=x(-0.5\vv{EC}+\vv{EA})+(y-1)\cdot 0.5\vv{EC}\\
\vv {CD}&=-0.5(x-y+1)\vv{EC}+x\vv{EA}
\end{align*}

又$$\vv{AE} \sslash \vv{DC}.$$
故$$-0.5(x-y+1)=0.$$

其妙

另另解



将$\triangle ABC$沿$AC$翻折得到$\triangle ABE$，由题设可知$$AE \sslash DC.$$

\begin{align ...
isee 发表于 2018-4-17 17:34

你这就把3楼的过程详细化了，是不是？

敬畏数学

回复 16# 游客
要得，就是这意思咯！