│f(x)+f(x+m)-2│+│f(x)-f(x+m)│≥2

realnumber

已知定义域为R的偶函数$\abs{x}\le 1,f(x)=2\cos{\frac{\pi x}{2}};\abs{x}>1,f(x)=x^2-1$，
若$\abs{f(x)+f(x+m)-2}+\abs{f(x)-f(x+m)}\ge 2,m>0$对任意实数x都成立，则m的最小值为____.

令x=-0.5m,则可得$m=1$或$m\ge2\sqrt{3}$,再令$x=-\frac{2}{3}$,可排除m=1.
以下验证$m\ge2\sqrt{3}$成立.
因为$m\ge2\sqrt{3}$,则$\abs{x}\ge\sqrt{3}$或$\abs{x+m}\ge\sqrt{3}$,即
$f(x)\ge2$或$f(x+m)\ge 2$,又$f(x)\ge0$,则$\abs{f(x)+f(x+m)-2}\ge0$,
即已知条件化为$f(x)+f(x+m)+\abs{f(x)-f(x+m)}\ge 4$，
若$f(x)\ge f(x+m)$,则条件即为$f(x)\ge 2$成立;若$f(x)\le f(x+m)$也成立.

力工

回复 1# realnumber
选择题？这题看着吓人。

realnumber

回复 2# 力工


    填空，我的解答似乎复杂，不晓得有没简洁明快的

游客

isee

回复 3# realnumber

图象法吧，相对简洁一点。（题出得很妙啊）
与4楼游客基本相同，不过，我作$\abs{f(x)-1}$，然后左移m个单位。

敬畏数学

|a|+|b|=MAX{|a+b|,|a-b|},见套路：forum.php?mod=viewthread&tid=4368&highlight=

敬畏数学

回复 4# 游客
。从提问到最后解决都太棒了！