嵌套根式取整

guanmo1

kuing

因为
\begin{align*}
3&=\sqrt {(2+1)^2}\\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {(2^2+1)^2}}\\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {2^4+\sqrt {(2^3+1)^2}}}\\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {2^4+\sqrt {2^6+\sqrt {(2^4+1)^2}}}}\\
&=\cdots \\
&=\sqrt {2^2+\sqrt {2^4+\sqrt {2^6+\cdots +\sqrt {2^{2(n-1)}+\sqrt {(2^n+1)^2}}}}},
\end{align*}
由此显然有
\[\sqrt {2+\sqrt {3+\sqrt {4+\cdots +\sqrt n}}}<3,\]
所以
\[\sqrt {1+\sqrt {2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<\sqrt {1+3}=2,\]
二次根号尚且小于 `2`，三次根号就更小了，即 `S<2`，又显然 `S>1`，所以 `[S]=1`。

guanmo1

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游客

第一个“显然”是需要理解的，要求两式项数有限且相等，不能是无穷。