一道函数不等式

力工

证明不等式$2x(1-lnx)+\sqrt{x}ln^2x\leqslant 2$对任意的$x\geqslant 1$成立。

kuing

作置换 `x\to x^2`（`x\geqslant1`），等价于证明
\[f(x)=2x^2(1-2\ln x)+4x\ln^2x\leqslant0,\]
易知 `f'(1)=0` 且
\[f''(x)=-\frac{8(x-1)(1+\ln x)}x\leqslant0,\]
从而 `f(x)\leqslant f(1)=2`。