u,v,w三复数和差

realnumber

设u,v,w是复数，且$\abs{u}=\abs{v}=\abs{w}=1$,证明：存在$a,b,c\in ${-1,1}
使得$\abs{au+bv+cw}\le 1$.

游客

不等号方向反啦。。。

realnumber

都可以，大致图形可以猜到，怎么表达还要想想。

如图，圆心在原点的单位圆，适当取a,b,c的值，可以得到au,bv,cw分别对应B,C,D三点对应的复数（“间隔一个取”，也就是说给定B,C后，D点只能在B'C'这段劣弧上运动（包括端点，特别当D移动到B'或C'时，之和的模等于1了），此时不等式成立了。大概D点在B'C'优弧上运动时，不等式反向了。

realnumber

以F为圆心半径1作圆，可见M在圆O内，即1楼不等式成立。
$\vv{OB}+\vv{OC}=\vv{OF},\vv{OF}+\vv{OD}=\vv{OM}$

kuing

用三角来玩也可以。

画出单位圆以及三个复数所在直线，形成如下图形。



取适当的 `a`, `b`, `c` 使 `\{au, bv, cw\}` 所在的线段为 `\{OA_1,OA_3,OA_5\}`，下面证明此时必有 $\abs{au+bv+cw}\leqslant 1$，即证 $\bigl|\vv{OA_1}+\vv{OA_3}+\vv{OA_5}\bigr|\leqslant 1$。

记 `\angle A_1OA_2=x`, `\angle A_2OA_3=y`, `\angle A_3OA_4=z`，待证式两边平方展开即 `3+2\cos(x+y)+2\cos(y+z)+2\cos(z+x)\leqslant 1`，即 `\cos x+\cos y+\cos z\geqslant 1`，这样就变成了常规的三角不等式，利用三角形内的恒等式 `\cos A+\cos B+\cos C=4\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)+1` 即得。

游客

两个单位向量的和向量的模，与这两个单位向量的夹角的关系，代数也可以。