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kuing
Posted 2018-4-28 18:08
用漂移套路即可。
推广命题：给定 `t>0`，互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^t-b^t=a^{t+1}-b^{t+1}`，则有
\[ab<\left( \frac t{t+1} \right)^2.\]
证明：设
\[f(x)=x^{t+1}-x^t,\quad x>0,\]
则条件为 `f(a)=f(b)`，求导有
\[f'(x)=(t+1)x^t-tx^{t-1},\]
可知其有唯的极值点
\[x_0=\frac t{t+1},\]
且其在 `(0,x_0)` 上递减，在 `(x_0,+\infty)` 上递增，不妨设 `a<b`，则
\[a<x_0<b.\]
设
\[F(x)=f(x_0x)-f\left( \frac{x_0}x \right),\quad x>0,\]
代入整理得
\[F(x)=x_0^{t+1}\left( x^{t+1}-\frac1{x^{t+1}} \right)-x_0^t\left( x^t-\frac1{x^t} \right),\]
求导有
\[F'(x)=x_0^{t+1}(t+1)\left( x^t+\frac1{x^{t+2}} \right)-x_0^tt\left( x^{t-1}+\frac1{x^{t+1}} \right),\]
注意到 `x_0^{t+1}(t+1)=x_0^tt`，所以
\[F'(x)=x_0^tt\left( x^t+\frac1{x^{t+2}}-x^{t-1}-\frac1{x^{t+1}} \right)=\frac{x_0^tt}x\left( x^{t+1}+\frac1{x^{t+1}}-x^t-\frac1{x^t} \right),\]
显然恒有
\[x^{t+1}+\frac1{x^{t+1}}\geqslant x^t+\frac1{x^t},\]
当且仅当 `x=1` 时取等，所以 `F(x)` 严格递增，而 `F(1)=0`，所以当 `x>1` 时 `F(x)>0`，故 `F(x_0/a)>0`，即
\[f\left( \frac{x_0^2}a \right)>f(a)=f(b),\]
而 `x_0^2/a` 和 `b` 均在 `f(x)` 的递增区间 `(x_0,+\infty)` 上，所以
\[\frac{x_0^2}a>b,\]
即
\[ab<x_0^2=\left( \frac t{t+1} \right)^2.\] |
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isee
Posted 2018-4-28 20:07
