也解一类二次函数绝对值(应试)

isee

引起好奇的是浙江省赛第14题不等式8楼，而我帖的22楼的资料例1并没有解完，没给出这个$b$是多少，我就更心痒了。

题干：$g(x)=4x^2+ax+b,a,b\in \mathrm R,\forall x\in [1,2],\abs{g(x)}\leqslant \frac 12$，求b.

kuing

你题目打错了，是 ax，不是 at

这是绝对值二次函数里最平凡的啊，取端点和中点就行了
`2\ge |g(1)|+2|g(3/2)|+|g(2)|\ge |g(1)-2g(3/2)+g(2)|=2`
下略

realnumber

存在a还是应该说下的，而不是任意的a.
给出一个参数，靠上下文去猜，好多题目都这样，觉得不好

realnumber

b的答案为什么不是a的函数呢？理解为给定实数a

isee

咋一看，觉得有点奇怪，满足题设中的b最后是一个定值！或者说只有一个值。

不论怎样，先把绝对值脱了再说。
$$-\frac 12\leqslant 4x^2+ax+b\leqslant\frac 12.$$
我首先想到的是二次函数的最值讨论，不过，对二次函数零点及最值的讨论，我喜欢分参，试下
$$-4x^2-\frac 12\leqslant ax+b\leqslant-4x^2+\frac 12.$$
不等式串，中间是关于x的直线，而两端仅是一个二次函数一部分图象的平移而已，第一感觉就是切，或者弦。

求下过$(1,-3.5),(2,-15.5)$这两点的直线看看$$y+3.5=-12(x-1)\Rightarrow y=-12x+8.5.$$

对二次函数图象是极熟悉的，上面所求的直线应该就是$y=-4x^2-\frac 12$的切线，否则b就是范围了。

令
$$y'=-8x=-12,\Rightarrow x=1.5,$$
此时$y=-4x^2-\frac 12$上的点$(1.5,-9.5)$正好亦在直线$y=-12x+8.5$上。

这就说明$$b=8.5.$$

kuing

回复 3# realnumber

这里没关系啊，因为满足条件的 a, b 都是唯一的。
了解切比雪夫多项式的话，一眼就知道是怎么一回事。

isee

存在a还是应该说下的，而不是任意的a.
给出一个参数，靠上下文去猜，好多题目都这样，觉得不好 ...
realnumber 发表于 2018-5-2 17:51

浙江省金丽衢十二校2016届高三第二次联考数学(理) ，第15题。
学生都写心得了，说明浙江这类题十分盛行！

isee

你题目打错了，是 ax，不是 at

这是绝对值二次函数里最平凡的啊，取端点和中点就行了
`2\ge |g(1)|+2|g(3/ ...
kuing 发表于 2018-5-2 17:48

你的这套，和游客那套，我学不会，实在笨，没办法，也不是不愿意，是临场想不到构造（你的），也说不清(游客的）

我的理解中，是切线恰好是中点而已。

isee

8楼提到的题：

题干：$a\in \mathrm R,$且对任意实数$b$均有$x\in[0,1],\max{\abs{x^2+ax+b}}\geqslant 1,$求$a$的范围.

解这种题在论坛混过，基本都被k带坏了。就是链接楼中的标答2（第12题）。

下面试下去绝对值，固定二次函数，让直线任意试试。

复杂多了，至少想不到好的出路，这个二次函数绝对值的最大值不小于1，若去绝对值硬求，根本不是分参，所以，去绝对值分类的想法，此题难以下继。

kuing

8楼提到的题：

题干：$a,b\in \mathrm R,\forall x\in[0,1],\max{\abs{x^2+ax+b}}\geqslant 1,$求$a$的范 ...
isee 发表于 2018-5-2 18:11

这样写题干是有问题的，b的任意性必须强调，不要随便省略关键词。

isee

回复 10# kuing

已改

游客

回复 1# isee



(这个对于二次函数好用，直接分类讨论也一样道理，
对于一般函数而言，觉得K的切线法好用点.)

游客

回复 9# isee


    分类讨论能肯定能的，就是在后期处理不等式的时候比较麻烦，若用线性规划图解处理，要考虑新的抛物线及其切线。

其妙

还是套路得人心呀

敬畏数学

套路。有点困啊。