一道归纳猜想题背后的原理

郝酒

实数$a,b$满足$a+b=1,a^2+b^2=3,a^3+b^3=4,a^5+b^5=7,a^5+b^5=11,\cdots,$，求$a^{11}+b^{11}$.
很容易找到规律：前两项的和等于后一项。
我想问的是这个规律背后有没有什么原理？
我用MM算了一下，令$a+b=x,a^2+b^2=y$,然后计算出$a^3+b^3,a^4+b^4,\cdots$，再解方程 $x+y=a^3+b^3,y+a^3+b^3=a^4+b^4，a^3+b^3+a^4+b^4=a^5+b^5,\cdots$，发现方程不论有几个，最终的解是固定的。整数解只有$a+b=0,a^2+b^2=0$和$a+b=1,a^2+b^2=3$两组，还有一些无理数解。为什么不论方程有几个，最终的解都是固定的呢？

色k

齐次线性递推数列的通解啊

郝酒

为什么是线性递推数列呢？涉及到乘方了啊？怎么就是线性的呢？

kuing

回复 3# 郝酒

递推数列形如 `a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n`的通项的形式你不会不知道吧？

郝酒

我知道，但是不知道如何建立两者的联系。或者这样问，为什么只有在$a+b=1,a^2+b^2=3$时，才有这样的递推性质呢？

kuing

回复 5# 郝酒

如果特征方程 `x^2=px+q` 的两根 `x_1\ne x_2`，则 `a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n` 的通项一定能写成 `a_n=Ax_1^n+Bx_2^n` 的形式，反之亦然。
所以，对于1#的题，令 `a_n=a^n+b^n`，则存在 `p`, `q` 使 `a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n`，至于 `p`, `q` 是什么，就取决于某两项的值，而1#的数据恰好使 `p=q=1`。
如果改一下数据，比如改成 `a + b = 1`, `a^2 + b^2 = 4`，则结果为 `a_{n+2}=a_{n+1}+\frac32a_n`，不信你验算一下。

郝酒

回复 6# kuing

理解了，谢谢ku版

力工

牛顿多项式

isee

回复 8# 力工


请科谱下，还没不知道呐